几何与算术平均收益率：7.49%，不是 8.33%

Quantitative Methods·2026年8月28日·5 分钟阅读

某投资组合的收益率依次为 20%、−10% 和 15%。直接对这三个数字求平均的考生会得到每年 8.33%，但该组合实际的复合年增长率为 7.49%，因为只有几何平均收益率 (geometric mean return)才能还原投资组合真正达到的期末价值。

两种平均数回答不同的问题

两者都是同一组三个数字的平均数，在算术上也都正确，但不能互换，因为它们要回答的问题不同。

Arithmetic mean return = (R_1 + R_2 + ... + R_n) / n

Geometric mean return = [(1 + R_1)(1 + R_2)...(1 + R_n)]^(1/n) − 1

算术平均收益率 (arithmetic mean return)把各期收益率相加，因此将每一期视为一次全新且相互独立的结果。题目只问单期时，它就是合适的平均数：对典型年份的实际结果赋予相同权重。几何平均收益率则把增长因子相乘，因此会把每一期的期末价值带入下一期。题目若问一笔资金经过多期后实际增长到多少，资金真正经历的运算就是乘法。

把百分比相加很符合直觉，但用于多期增长时却是错误的，这正是整道题的陷阱。题目只说“平均收益率”时，不会直接告诉你该用哪种运算，因此要寻找有关复利或整个期间年均增长的措辞。

计算三年期例题

初始金额为 100，三个年度的收益率分别为 20%、−10% 和 15%。

Arithmetic mean = (0.20 − 0.10 + 0.15) / 3 = 0.25 / 3 = 8.33%

Growth factors: 1.20 × 0.90 × 1.15 = 1.242

Geometric mean = 1.242^(1/3) − 1 = 7.49%

用账户余额检验两种结果。投资组合期末价值为 100 × 1.242 = 124.20。按几何平均收益率进行复合增长 (compound growth)，得到 100 × 1.0749^3 = 124.20，与实际结果相同。按算术平均收益率进行复利计算，得到 100 × 1.0833^3 = 127.14，比该投资组合实际拥有过的金额多出 2.94。

127.14 并非舍入误差，而是干扰项，也是采用 8.33% 的选项暗中声称的结果。

差距来自波动，而且方向绝不会反过来

几何平均收益率绝不会高于算术平均收益率。只有每一期收益率完全相同时，两者才相等；换句话说，收益率必须毫无离散度 (dispersion)。只要存在任何变化，两者就会拉开差距，而且变化越大，差距越大。

这个差距的大小可以估算。三个收益率相对 8.33% 的偏差分别为 11.67%、−18.33% 和 6.67%。将它们平方后取三者平均，得到方差 (variance) 0.01722，对应的标准差 (standard deviation)为 13.12%。

Geometric mean ≈ arithmetic mean − variance / 2 = 8.33% − 0.86% = 7.47%

与精确值 7.49% 相比，这个近似结果足以让你在几秒内判断选项是否合理。波动越大，影响就越明显。某投资组合先上涨 50%，再下跌 50%，其算术平均收益率恰好为零，但 100 会先变成 150，再变成 75。几何平均收益率为 (1.50 × 0.50)^(1/2) − 1 = −13.40%。同样两个数字，一边是平均收益率为零，另一边却损失了四分之一的资金。

快速参考

一个习惯可以消除这里的大部分风险。算出平均收益率后，按题目所述期间进行复利计算，再与题目给出的期末价值比较。只要各期收益率存在差异，算术平均收益率就会得出偏高的结果；在最终选择答案前，你就能看出这种不一致。

同样的区别也出现在资金加权收益率与时间加权收益率中：同一组收益率可以得到两个合理的平均数，而题目已经决定了它要问哪一个。

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