Média geométrica vs aritmética: 7.49%, não 8.33%
Uma carteira rende 20%, depois −10% e, por fim, 15%. Um candidato que calcula o retorno médio aritmético (arithmetic mean return) dos três números informa 8.33% ao ano, mas a carteira na realidade cresceu de forma composta a 7.49%, porque somente o retorno médio geométrico (geometric mean return) reproduz o valor final que a carteira de fato alcançou.
As duas médias respondem a perguntas diferentes
Ambas são médias dos mesmos três números, e os dois cálculos estão corretos. Elas não são intercambiáveis, pois foram concebidas para perguntas diferentes.
Arithmetic mean return = (R_1 + R_2 + ... + R_n) / n
Geometric mean return = [(1 + R_1)(1 + R_2)...(1 + R_n)]^(1/n) − 1
A média aritmética soma os retornos, tratando cada período como uma nova observação independente. É isso que a torna a média correta quando a pergunta trata de um único período: uma média com pesos iguais do que ocorreu em um ano típico. Já a média geométrica multiplica fatores de crescimento, levando o valor final de cada período para o seguinte. Quando a pergunta é quanto uma soma de dinheiro realmente cresceu ao longo de vários períodos, a multiplicação é a operação que o dinheiro realizou.
Somar porcentagens é o movimento intuitivo, mas é o errado para o crescimento ao longo de vários períodos. Essa é toda a armadilha. Nada na expressão “retorno médio” indica qual operação usar; portanto, procure a parte que fala em capitalização ou crescimento anual durante todo o horizonte.
Resolvendo o exemplo de três anos
Comece com 100. Os três retornos anuais são 20%, −10% e 15%.
Arithmetic mean = (0.20 − 0.10 + 0.15) / 3 = 0.25 / 3 = 8.33%
Growth factors: 1.20 × 0.90 × 1.15 = 1.242
Geometric mean = 1.242^(1/3) − 1 = 7.49%
Compare as duas médias com o saldo da conta. A carteira termina em 100 × 1.242 = 124.20. A capitalização pela média geométrica resulta em 100 × 1.0749^3 = 124.20, o mesmo valor. A capitalização pela média aritmética resulta em 100 × 1.0833^3 = 127.14, ou 2.94 a mais do que a carteira jamais teve.
Esse 127.14 não é um efeito de arredondamento. É o distrator e representa o que uma alternativa baseada em 8.33% está afirmando implicitamente.
A diferença é a volatilidade e nunca ocorre no sentido contrário
A média geométrica nunca supera a média aritmética. As duas são iguais somente quando o retorno de todos os períodos é idêntico, o que equivale a dizer que não há dispersão (dispersion) alguma nos retornos. Qualquer variação as separa, e uma variação maior aumenta essa diferença.
É possível estimar o tamanho dessa diferença. Considere os três desvios em relação a 8.33%: 11.67%, −18.33% e 6.67%. Eleve cada um ao quadrado e calcule a média dos três quadrados; a variância (variance) é 0.01722, com desvio-padrão (standard deviation) de 13.12%.
Geometric mean ≈ arithmetic mean − variance / 2 = 8.33% − 0.86% = 7.47%
Comparada ao valor exato de 7.49%, essa aproximação é suficiente para conferir uma alternativa em poucos segundos. Aumente a volatilidade, e o efeito deixa de ser sutil. Uma carteira que ganha 50% e depois perde 50% tem média aritmética exatamente igual a zero, enquanto 100 vira 150 e depois 75. A média geométrica é (1.50 × 0.50)^(1/2) − 1 = −13.40%. Retorno médio zero e um quarto do dinheiro perdido, a partir dos mesmos dois números.
Referência rápida
| Redação da questão | O que ela estabelece | Risco se passar despercebido |
|---|---|---|
| Retorno anual médio durante o período | Crescimento composto (compound growth), portanto média geométrica | Calcular a média dos retornos e superestimar o crescimento |
| Retorno esperado para o próximo período | Um único período, portanto média aritmética | Usar a geométrica e subestimar a estimativa |
| Valor final ou patrimônio terminal | Fatores de crescimento multiplicados; somente a geométrica | Capitalizar a média aritmética |
| Os retornos são idênticos em todos os períodos | As duas médias coincidem | Procurar uma diferença que não existe |
Um hábito elimina a maior parte do risco aqui. Depois de obter um retorno médio, capitalize-o ao longo do horizonte informado e compare o resultado com o valor final fornecido pela questão. A média aritmética sempre ficará acima quando os retornos variarem, e essa divergência aparece antes de você escolher uma alternativa.
A mesma distinção aparece nos retornos ponderados pelo dinheiro e pelo tempo: um conjunto de retornos, duas médias defensáveis e uma pergunta que já determinou qual delas quer.
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