Taxa nominal vs efetiva anual: 12% viram 12.68%
Um banco anuncia 12% com capitalização mensal. Quem interpreta isso como um retorno de 12% responde 12.00%, mas a taxa efetiva anual (effective annual rate) é 12.68%, porque os juros de cada mês passam a render juros pelo restante do ano. A diferença é pequena. E é exatamente o ponto da questão.
A taxa declarada é uma convenção, não um retorno
Uma taxa de juros anual declarada (stated annual rate), também chamada de taxa cotada (quoted rate) ou taxa nominal (nominal rate), é apenas uma convenção de cotação. Você só obtém a taxa periódica (periodic rate) depois de dividi-la pela frequência de capitalização (compounding frequency), e só obtém o retorno anual efetivo depois de capitalizar essa taxa periódica ao longo do ano. São duas etapas, e quem pula a segunda perde o ponto.
Periodic rate = Stated annual rate / m
EAR = (1 + Periodic rate)^m − 1
Aqui, m é o número de períodos de capitalização em um ano: 2 para semestral, 4 para trimestral e 12 para mensal. Observe que a taxa declarada nunca entra sozinha no cálculo de um valor. Ela serve para obter a taxa periódica, e é a taxa periódica que de fato entra no cálculo.
O único caso em que a taxa declarada e a efetiva coincidem é a capitalização anual. Com m = 1, o expoente deixa de alterar o resultado, e 12% declarados equivalem a 12% efetivos. Qualquer outra frequência eleva a taxa efetiva acima da declarada, e uma questão que especifica a frequência já está indicando que os dois números diferem.
O exemplo de 12 por cento
Considere 12% com capitalização mensal. A taxa periódica é de um por cento ao mês, e esses doze períodos se acumulam por capitalização composta:
Periodic rate = 0.12 / 12 = 0.01
EAR = (1.01)^12 − 1 = 1.126825 − 1 = 12.68%
Em dinheiro: 1,000 investidos à taxa cotada de 12% tornam-se 1,126.83 após um ano, não 1,120.00. Os 6.83 adicionais são juros sobre juros e representam toda a diferença entre as duas alternativas.
Mude apenas a frequência, e a mesma taxa cotada de 12% produz esta sequência:
Semiannual: (1.06)^2 − 1 = 12.36%
Quarterly: (1.03)^4 − 1 = 12.55%
Daily: (1 + 0.12/365)^365 − 1 = 12.75%
Os incrementos diminuem à medida que m aumenta. Passar de capitalização anual para semestral acrescenta 36 pontos-base (basis point); passar de diária para uma frequência infinita acrescenta menos de um quarto de ponto-base. Esse limite é a capitalização contínua (continuous compounding), em que a fórmula discreta dá lugar à exponencial:
EAR = e^(Stated annual rate) − 1 = e^0.12 − 1 = 12.75%
As capitalizações diária e contínua arredondam para 12.75% com duas casas decimais. É exatamente por isso que uma questão que queira distingui-las apresentará mais casas decimais ou perguntará qual é maior, em vez de pedir um valor.
O cálculo inverso é a versão mais difícil
As questões pedem o cálculo inverso com mais frequência do que os candidatos esperam. Dada uma taxa efetiva anual desejada de 12%, a taxa declarada com capitalização mensal não é 12%: é menor, porque a capitalização mensal fará parte do trabalho.
Stated annual rate = [(1.12)^(1/12) − 1] × 12 = 11.39%
Duas taxas cotadas que descrevem o mesmo retorno parecem diferentes na página. É isso que faz da taxa efetiva anual a medida adequada para comparação: ela é a única dessas taxas que significa a mesma coisa em contratos com convenções de capitalização diferentes.
Consulta rápida
| Expressão no enunciado | O que ela informa | Erro se você não perceber |
|---|---|---|
| Taxa de juros anual declarada, taxa cotada, taxa nominal | Uma convenção de cotação cuja taxa deve ser dividida por m | Usá-la diretamente como retorno anual |
| Capitalização mensal, trimestral, semestral | O valor de m e, portanto, a taxa periódica e o expoente | Capitalizar a taxa declarada em vez da taxa periódica |
| Taxa efetiva anual | A medida comparável entre frequências | Comparar dois empréstimos pelas taxas cotadas |
| Capitalização contínua | Use e elevado à taxa declarada, não uma potência de m | Escolher um m grande em vez de usar a exponencial |
Leia a frequência antes da taxa. Esse hábito transforma a maioria dessas questões em uma aplicação direta da fórmula: depois que você conhece m, a fórmula já está definida e não há mais decisões a tomar.
A mesma lógica de capitalização aparece na comparação entre média geométrica e média aritmética dos retornos: nos dois casos, somar os valores periódicos dá uma resposta, e capitalizá-los dá a resposta correta.
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