ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเทียบเลขคณิต: 7.49% ไม่ใช่ 8.33%

Quantitative Methods·28 สิงหาคม 2569·11 นาทีในการอ่าน

พอร์ตให้ผลตอบแทน 20% ตามด้วย −10% แล้วจึง 15% ผู้สมัครที่หาค่าเฉลี่ยของตัวเลขทั้งสามจะรายงานผลตอบแทนปีละ 8.33% แต่พอร์ตเติบโตแบบทบต้นจริงที่ 7.49% เพราะมีเพียง ผลตอบแทนเฉลี่ยเรขาคณิต (geometric mean return) เท่านั้นที่ทำให้ได้มูลค่าสิ้นสุดซึ่งพอร์ตไปถึงจริง

ค่าเฉลี่ยทั้งสองตอบคำถามต่างกัน

ทั้งสองเป็นค่าเฉลี่ยของตัวเลขสามค่าเดียวกัน และการคำนวณทั้งสองก็ถูกต้อง แต่ใช้แทนกันไม่ได้ เพราะสร้างขึ้นเพื่อตอบคำถามคนละแบบ

Arithmetic mean return = (R_1 + R_2 + ... + R_n) / n

Geometric mean return = [(1 + R_1)(1 + R_2)...(1 + R_n)]^(1/n) − 1

ผลตอบแทนเฉลี่ยเลขคณิต (arithmetic mean return) ใช้การบวกผลตอบแทน จึงปฏิบัติต่อแต่ละงวดเสมือนเป็นการสุ่มใหม่ที่เป็นอิสระ นี่ทำให้เป็นค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมเมื่อโจทย์ถามถึงงวดเดียว กล่าวคือเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเท่ากันของสิ่งที่เกิดขึ้นในปีทั่วไป ส่วนผลตอบแทนเฉลี่ยเรขาคณิตใช้การคูณปัจจัยการเติบโต จึงนำมูลค่าสิ้นสุดของแต่ละงวดไปเป็นฐานของงวดถัดไป เมื่อโจทย์ถามว่าเงินก้อนหนึ่งเติบโตจริงเป็นเท่าใดตลอดหลายงวด การคูณคือสิ่งที่เกิดขึ้นกับเงินก้อนนั้น

การบวกร้อยละเป็นวิธีที่ดูเป็นธรรมชาติ แต่ผิดสำหรับการเติบโตหลายงวด นี่คือกับดักทั้งหมด ถ้อยคำว่า “ผลตอบแทนเฉลี่ย” ไม่ได้บอกชัดว่าควรใช้การคำนวณแบบใด คุณจึงควรมองหาคำที่กล่าวถึงการทบต้นหรือการเติบโตรายปีตลอดช่วงเวลาทั้งหมด

คำนวณตัวอย่างสามปี

เริ่มต้นด้วย 100 ผลตอบแทนรายปีทั้งสามคือ 20%, −10% และ 15%

Arithmetic mean = (0.20 − 0.10 + 0.15) / 3 = 0.25 / 3 = 8.33%

Growth factors: 1.20 × 0.90 × 1.15 = 1.242

Geometric mean = 1.242^(1/3) − 1 = 7.49%

ตรวจสอบค่าเฉลี่ยทั้งสองกับยอดคงเหลือในบัญชี พอร์ตสิ้นสุดที่ 100 × 1.242 = 124.20 การทบต้นด้วยผลตอบแทนเฉลี่ยเรขาคณิตให้ 100 × 1.0749^3 = 124.20 ซึ่งเป็นตัวเลขเดียวกัน ส่วนการทบต้นด้วยผลตอบแทนเฉลี่ยเลขคณิตให้ 100 × 1.0833^3 = 127.14 ซึ่งมากกว่าเงินที่พอร์ตเคยมีจริง 2.94

ตัวเลข 127.14 ไม่ได้เกิดจากการปัดเศษ แต่เป็นตัวลวง และเป็นสิ่งที่ตัวเลือกซึ่งสร้างจาก 8.33% กำลังกล่าวอ้างโดยนัย

ส่วนต่างเกิดจากความผันผวน และไม่มีวันกลับทิศ

ผลตอบแทนเฉลี่ยเรขาคณิตไม่มีวันสูงกว่าผลตอบแทนเฉลี่ยเลขคณิต ทั้งสองจะเท่ากันก็ต่อเมื่อผลตอบแทนทุกงวดเท่ากัน ซึ่งกล่าวอีกอย่างได้ว่าผลตอบแทนไม่มีการกระจาย (dispersion) เลย ความแตกต่างเพียงเล็กน้อยก็ทำให้ค่าเฉลี่ยทั้งสองแยกออกจากกัน และยิ่งแตกต่างกันมาก ช่องว่างก็ยิ่งกว้าง

คุณสามารถประมาณขนาดของช่องว่างนี้ได้ เริ่มจากส่วนเบี่ยงเบนสามค่าจาก 8.33% ได้แก่ 11.67%, −18.33% และ 6.67% ยกกำลังสองทุกค่าแล้วหาค่าเฉลี่ยของกำลังสองทั้งสาม จะได้ความแปรปรวน (variance) เท่ากับ 0.01722 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) เท่ากับ 13.12%

Geometric mean ≈ arithmetic mean − variance / 2 = 8.33% − 0.86% = 7.47%

เมื่อเทียบกับค่าที่แน่นอน 7.49% ค่าประมาณนี้ใกล้พอที่จะใช้ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของตัวเลือกได้ในไม่กี่วินาที หากเพิ่มความผันผวน ผลกระทบจะเห็นชัดขึ้น พอร์ตที่ได้กำไร 50% แล้วขาดทุน 50% มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นศูนย์พอดี ขณะที่เงิน 100 กลายเป็น 150 แล้วเหลือ 75 ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตคือ (1.50 × 0.50)^(1/2) − 1 = −13.40% ตัวเลขผลตอบแทนเฉลี่ยเป็นศูนย์ แต่เงินหายไปหนึ่งในสี่ ทั้งหมดมาจากตัวเลขสองค่าเดียวกัน

สรุปย่อ

นิสัยข้อเดียวช่วยลดความเสี่ยงส่วนใหญ่ในเรื่องนี้ได้ เมื่อคำนวณผลตอบแทนเฉลี่ยแล้ว ให้นำไปทบต้นตลอดช่วงเวลาที่โจทย์ระบุ และเปรียบเทียบผลกับมูลค่าสิ้นสุดที่โจทย์ให้ ผลตอบแทนเฉลี่ยเลขคณิตจะให้ค่าสูงเกินจริงทุกครั้งที่ผลตอบแทนแต่ละงวดต่างกัน และคุณจะเห็นความไม่สอดคล้องนี้ก่อนเลือกคำตอบ

ความแตกต่างแบบเดียวกันปรากฏใน ผลตอบแทนถ่วงน้ำหนักด้วยเงินทุนและผลตอบแทนถ่วงน้ำหนักด้วยเวลา กล่าวคือ ผลตอบแทนชุดเดียว ค่าเฉลี่ยสองแบบที่ต่างมีเหตุผลรองรับ และโจทย์ที่กำหนดไว้แล้วว่าต้องการค่าใด

Charter5m เป็นเครื่องมือการเรียนรู้อิสระและไม่มีความเกี่ยวข้องกับ CFA Institute โดย CFA Institute ไม่ได้รับรอง ส่งเสริม หรือรับประกันความถูกต้องหรือคุณภาพของเนื้อหานี้ CFA® เป็นเครื่องหมายการค้าจดทะเบียนของ CFA Institute