Trung bình nhân và cộng: 7.49%, không phải 8.33%
Một danh mục có tỷ suất sinh lời lần lượt là 20%, −10% và 15%. Thí sinh lấy trung bình ba con số sẽ báo cáo 8.33% mỗi năm, nhưng trên thực tế danh mục tăng trưởng kép ở mức 7.49%, vì chỉ tỷ suất sinh lời trung bình nhân (geometric mean return) mới tái hiện đúng giá trị cuối kỳ mà danh mục thực sự đạt được.
Hai loại trung bình trả lời hai câu hỏi khác nhau
Cả tỷ suất sinh lời trung bình cộng (arithmetic mean return) lẫn trung bình nhân đều là số trung bình của cùng ba con số, và cả hai phép tính đều đúng. Tuy nhiên, chúng không thể thay thế nhau vì được xây dựng để trả lời những câu hỏi khác nhau.
Arithmetic mean return = (R_1 + R_2 + ... + R_n) / n
Geometric mean return = [(1 + R_1)(1 + R_2)...(1 + R_n)]^(1/n) − 1
Tỷ suất sinh lời trung bình cộng cộng các tỷ suất sinh lời, nên coi mỗi kỳ là một lần quan sát mới và độc lập. Vì thế, đây là số trung bình phù hợp khi câu hỏi chỉ xét một kỳ: bình quân gia quyền bằng nhau của kết quả trong một năm điển hình. Trung bình nhân lại nhân các hệ số tăng trưởng, nên chuyển giá trị cuối kỳ này sang kỳ kế tiếp. Khi câu hỏi hỏi một khoản tiền thực sự tăng thành bao nhiêu sau nhiều kỳ, phép nhân chính là phép toán mà khoản tiền đó đã trải qua.
Cộng các tỷ lệ phần trăm là phản xạ trực giác, nhưng lại sai với tăng trưởng nhiều kỳ. Đó chính là toàn bộ cái bẫy. Cách diễn đạt “tỷ suất sinh lời trung bình” không tự cho biết nên dùng phép toán nào, vì vậy hãy tìm cụm từ nói về tăng trưởng kép (compound growth) hoặc tăng trưởng hằng năm trong toàn bộ khoảng thời gian.
Giải ví dụ ba năm
Bắt đầu với 100. Ba tỷ suất sinh lời hằng năm là 20%, −10% và 15%.
Arithmetic mean = (0.20 − 0.10 + 0.15) / 3 = 0.25 / 3 = 8.33%
Growth factors: 1.20 × 0.90 × 1.15 = 1.242
Geometric mean = 1.242^(1/3) − 1 = 7.49%
Kiểm tra cả hai kết quả với số dư tài khoản. Danh mục kết thúc ở mức 100 × 1.242 = 124.20. Ghép lãi theo trung bình nhân cho 100 × 1.0749^3 = 124.20, đúng bằng con số trên. Ghép lãi theo trung bình cộng cho 100 × 1.0833^3 = 127.14, nhiều hơn 2.94 so với số tiền cao nhất mà danh mục từng thực sự có.
Con số 127.14 không phải sai số làm tròn. Đây là phương án nhiễu, và cũng là điều mà một phương án dựa trên 8.33% đang ngầm khẳng định.
Chênh lệch phản ánh biến động và không bao giờ đảo chiều
Trung bình nhân không bao giờ cao hơn trung bình cộng. Hai đại lượng chỉ bằng nhau khi tỷ suất sinh lời ở mọi kỳ đều giống hệt nhau, tức hoàn toàn không có độ phân tán (dispersion). Chỉ cần có bất kỳ biến động nào, chúng sẽ tách nhau; biến động càng lớn, khoảng cách càng rộng.
Có thể ước tính độ lớn của khoảng cách này. Lấy ba độ lệch so với 8.33%: 11.67%, −18.33% và 6.67%. Bình phương chúng rồi lấy trung bình ba bình phương, ta có phương sai (variance) là 0.01722 và độ lệch chuẩn (standard deviation) là 13.12%.
Geometric mean ≈ arithmetic mean − variance / 2 = 8.33% − 0.86% = 7.47%
So với kết quả chính xác 7.49%, phép xấp xỉ này đủ gần để kiểm tra nhanh tính hợp lý của một phương án trong vài giây. Khi biến động tăng, tác động trở nên rất rõ. Một danh mục tăng 50% rồi giảm 50% có trung bình cộng đúng bằng không, trong khi 100 tăng lên 150 rồi giảm xuống 75. Trung bình nhân là (1.50 × 0.50)^(1/2) − 1 = −13.40%. Cùng hai con số nhưng tỷ suất sinh lời trung bình bằng không và một phần tư số tiền đã mất.
Tham khảo nhanh
| Cách hỏi | Điều được xác định | Rủi ro nếu bỏ sót |
|---|---|---|
| Tỷ suất sinh lời hằng năm trung bình trong cả kỳ | Tăng trưởng kép, nên dùng trung bình nhân | Lấy trung bình các tỷ suất sinh lời và phóng đại tăng trưởng |
| Tỷ suất sinh lời kỳ vọng cho kỳ tiếp theo | Một kỳ, nên dùng trung bình cộng | Dùng trung bình nhân và đánh giá thấp ước tính |
| Giá trị cuối kỳ hoặc tài sản cuối kỳ | Nhân các hệ số tăng trưởng, chỉ dùng trung bình nhân | Thay vào đó lại ghép lãi theo trung bình cộng |
| Tỷ suất sinh lời giống nhau trong mọi kỳ | Hai loại trung bình bằng nhau | Cố tìm một chênh lệch không tồn tại |
Một thói quen có thể loại bỏ phần lớn rủi ro ở đây. Sau khi tính được tỷ suất sinh lời trung bình, hãy ghép lãi trong khoảng thời gian đã cho rồi so sánh kết quả với giá trị cuối kỳ trong đề bài. Trung bình cộng sẽ cho kết quả cao hơn bất cứ khi nào tỷ suất sinh lời biến động, và bạn có thể nhận ra chênh lệch đó trước khi chọn đáp án.
Sự phân biệt tương tự cũng xuất hiện ở tỷ suất sinh lời theo trọng số tiền và theo trọng số thời gian: cùng một tập hợp tỷ suất sinh lời, hai cách tính trung bình đều có cơ sở, và câu hỏi đã quyết định sẵn cần dùng cách nào.
Đang ôn thi bên cạnh công việc toàn thời gian? Charter5m biến những khoảng nghỉ ngắn thành thời gian luyện tập tập trung: bài học Level I cô đọng, câu hỏi nhắm vào bẫy thường gặp và thẻ ghi nhớ lặp lại ngắt quãng. Hãy dùng thử trong phiên học 5 phút tiếp theo của bạn.
Nếu tiếng Anh không phải tiếng mẹ đẻ của bạn, mỗi khái niệm đều được giảng bằng tiếng Anh và bản dịch tiếng mẹ đẻ chỉ cách một lần chạm, với 9 ngôn ngữ học tập, để thuật ngữ trong đề thi không còn là trở ngại.
Charter5m là công cụ học tập độc lập và không liên kết với CFA Institute. CFA Institute không chứng thực, quảng bá hay bảo đảm tính chính xác hoặc chất lượng của nội dung này. CFA® là nhãn hiệu đã đăng ký của CFA Institute.