المتوسط الهندسي مقابل الحسابي: 7.49% لا 8.33%

Quantitative Methods·28 أغسطس 2026·4 دقيقة قراءة

تحقق محفظة عائدًا قدره 20%، ثم −10%، ثم 15%. والمرشح الذي يحسب متوسط الأرقام الثلاثة يسجل 8.33% سنويًا، لكن المحفظة حققت نموًا مركبًا (compound growth) فعليًا قدره 7.49%، لأن متوسط العائد الهندسي (geometric mean return) وحده يعيد إنتاج القيمة النهائية التي بلغتها المحفظة فعلًا.

المتوسطان يجيبان عن سؤالين مختلفين

كلاهما متوسط للأرقام الثلاثة نفسها، وكلاهما صحيح حسابيًا. لكن لا يمكن استخدام أحدهما بدلًا من الآخر، لأن كلًا منهما مصمم لسؤال مختلف.

Arithmetic mean return = (R_1 + R_2 + ... + R_n) / n

Geometric mean return = [(1 + R_1)(1 + R_2)...(1 + R_n)]^(1/n) − 1

يجمع متوسط العائد الحسابي (arithmetic mean return) العوائد، ولذلك يعامل كل فترة كسحب جديد ومستقل. وهذا ما يجعله المتوسط الصحيح عندما يتعلق السؤال بفترة واحدة: متوسط متساوي الأوزان لما حدث في سنة نموذجية. أما المتوسط الهندسي فيضرب عوامل النمو بدلًا من ذلك، فينقل القيمة النهائية لكل فترة إلى الفترة التالية. وعندما يكون السؤال عن القيمة التي نما إليها مبلغ من المال فعلًا عبر عدة فترات، يكون الضرب هو العملية التي مر بها المال.

جمع النسب المئوية هو التصرف البديهي، لكنه خاطئ عند حساب النمو متعدد الفترات. وهذا هو الفخ كله. فلا شيء في عبارة «متوسط العائد» يحدد أي عملية ينبغي استخدامها، ولذلك ابحث عن العبارة التي تشير إلى التركيب أو النمو السنوي على امتداد الأفق كاملًا.

حل مثال السنوات الثلاث

ابدأ بـ100. العوائد السنوية الثلاثة هي 20% و−10% و15%.

Arithmetic mean = (0.20 − 0.10 + 0.15) / 3 = 0.25 / 3 = 8.33%

Growth factors: 1.20 × 0.90 × 1.15 = 1.242

Geometric mean = 1.242^(1/3) − 1 = 7.49%

تحقق من كليهما بمقارنته برصيد الحساب. تنتهي المحفظة عند 100 × 1.242 = 124.20. ويعطي تركيب المتوسط الهندسي 100 × 1.0749^3 = 124.20، وهو الرقم نفسه. أما تركيب المتوسط الحسابي فيعطي 100 × 1.0833^3 = 127.14، أي أكثر بمقدار 2.94 مما احتفظت به المحفظة في أي وقت.

ليست قيمة 127.14 ناتجة من التقريب. إنها خيار التضليل، وهي ما يؤكده ضمنيًا خيار إجابة مبني على 8.33%.

الفجوة سببها التقلب، ولا تسير أبدًا في الاتجاه المعاكس

لا يتجاوز المتوسط الهندسي المتوسط الحسابي أبدًا. ولا يتساويان إلا عندما يكون عائد كل فترة مطابقًا للآخر، أي عندما لا يكون في العوائد أي تشتت (dispersion). وأي اختلاف، مهما كان، يفصل بينهما، وكلما زاد الاختلاف اتسعت الفجوة.

يمكنك تقدير حجم الفجوة. خذ الانحرافات الثلاثة عن 8.33%: 11.67% و−18.33% و6.67%. ربّعها، ثم احسب متوسط المربعات الثلاثة، فيكون التباين (variance) 0.01722 والانحراف المعياري (standard deviation) 13.12%.

Geometric mean ≈ arithmetic mean − variance / 2 = 8.33% − 0.86% = 7.47%

مقارنةً بالقيمة الدقيقة 7.49%، يكون هذا التقريب قريبًا بما يكفي لفحص معقولية خيار إجابة خلال ثوانٍ. وإذا رفعت التقلب، فلن يبقى الأثر طفيفًا. فمحفظة تكسب 50% ثم تخسر 50% لها متوسط حسابي يساوي صفرًا تمامًا، بينما تتحول 100 إلى 150 ثم إلى 75. ويبلغ المتوسط الهندسي (1.50 × 0.50)^(1/2) − 1 = −13.40%. متوسط عائد صفري مع خسارة ربع المال، وكلاهما ناتج من العددين نفسيهما.

مرجع سريع

هناك عادة واحدة تزيل معظم الخطر هنا. بعد حساب متوسط العائد، ركّبه على امتداد الأفق المحدد وقارن الناتج بالقيمة النهائية الواردة في السؤال. سيتجاوز المتوسط الحسابي القيمة الفعلية كلما اختلفت العوائد، ويمكنك رؤية هذا التعارض قبل تثبيت اختيارك.

ويظهر الانقسام نفسه في العائد المرجَّح بالأموال (money-weighted return) والعائد المرجح زمنيًا (time-weighted return): مجموعة واحدة من العوائد، ومتوسطان يمكن تبريرهما، وسؤال حدد مسبقًا أيهما يطلب.

Charter5m أداة دراسة مستقلة وغير تابعة لـ CFA Institute. ولا تعتمد CFA Institute هذا المحتوى أو تروّج له أو تضمن دقته أو جودته. CFA® علامة تجارية مسجلة لـ CFA Institute.