อัตราที่ระบุ vs EAR: 12% กลายเป็น 12.68%

Quantitative Methods·8 กันยายน 2569·11 นาทีในการอ่าน

ธนาคารเสนออัตราดอกเบี้ย 12% ทบต้นรายเดือน ผู้สอบที่อ่านว่าเป็นผลตอบแทน 12% จะตอบ 12.00% แต่อัตราที่แท้จริงต่อปี (effective annual rate) คือ 12.68% เพราะดอกเบี้ยของแต่ละเดือนเริ่มสร้างดอกเบี้ยต่อไปตลอดช่วงที่เหลือของปี ส่วนต่างนี้เล็กน้อย แต่ก็เป็นประเด็นทั้งหมดของโจทย์

อัตราที่ระบุเป็นเพียงวิธีบอกอัตรา ไม่ใช่ผลตอบแทน

อัตราดอกเบี้ยที่ระบุต่อปี (stated annual rate) หรือเรียกว่าอัตราที่เสนอ (quoted rate) หรืออัตราที่เป็นตัวเงิน (nominal rate) เป็นเพียงรูปแบบการเสนออัตราเท่านั้น คุณจะหาอัตราดอกเบี้ยต่องวด (periodic rate) ได้เมื่อนำอัตรานี้ไปหารด้วยความถี่ในการทบต้น (compounding frequency) และจะหาผลตอบแทนจริงต่อปีได้เมื่อนำอัตราดอกเบี้ยต่องวดนั้นมาทบต้นกลับขึ้นไป ต้องทำสองขั้นตอน และผู้สอบที่ข้ามขั้นตอนที่สองจะเสียคะแนน

Periodic rate = Stated annual rate / m

EAR = (1 + Periodic rate)^m − 1

ในที่นี้ m คือจำนวนงวดที่ทบต้นในหนึ่งปี ได้แก่ 2 สำหรับรายครึ่งปี 4 สำหรับรายไตรมาส และ 12 สำหรับรายเดือน สังเกตว่าอัตราที่ระบุไม่เคยใช้คำนวณมูลค่าโดยตรงเพียงลำพัง แต่เป็นข้อมูลสำหรับหาอัตราดอกเบี้ยต่องวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดต่างหากที่ใช้คำนวณจริง

กรณีเดียวที่อัตราที่ระบุกับอัตราที่แท้จริงเท่ากันคือการทบต้นปีละครั้ง เมื่อ m = 1 เลขชี้กำลังไม่มีผล และอัตราที่ระบุ 12% เท่ากับอัตราที่แท้จริง 12% ความถี่อื่นที่สูงกว่านี้ทำให้อัตราที่แท้จริงสูงกว่าอัตราที่ระบุ และโจทย์ที่ระบุความถี่ดังกล่าวก็บอกแล้วว่าตัวเลขทั้งสองต่างกัน

คำนวณตัวอย่าง 12 เปอร์เซ็นต์

พิจารณาอัตรา 12% ทบต้นรายเดือน อัตราดอกเบี้ยต่องวดคือหนึ่งเปอร์เซ็นต์ต่อเดือน แล้วนำมาทบต้นสิบสองงวด:

Periodic rate = 0.12 / 12 = 0.01

EAR = (1.01)^12 − 1 = 1.126825 − 1 = 12.68%

ถ้าคิดเป็นเงิน เงินลงทุน 1,000 ที่อัตราที่เสนอ 12% จะเพิ่มเป็น 1,126.83 หลังผ่านไปหนึ่งปี ไม่ใช่ 1,120.00 ส่วนที่เพิ่มมา 6.83 คือดอกเบี้ยที่เกิดจากดอกเบี้ย และเป็นส่วนต่างทั้งหมดระหว่างสองตัวเลือก

เปลี่ยนเพียงความถี่ อัตราที่เสนอ 12% เดิมก็ให้ผลตอบแทนเพิ่มขึ้นตามลำดับ:

Semiannual: (1.06)^2 − 1 = 12.36%

Quarterly: (1.03)^4 − 1 = 12.55%

Daily: (1 + 0.12/365)^365 − 1 = 12.75%

ส่วนที่เพิ่มขึ้นในแต่ละขั้นจะลดลงเมื่อ m มากขึ้น การเปลี่ยนจากทบต้นรายปีเป็นรายครึ่งปีเพิ่มผลตอบแทน 36 เบสิสพอยต์ (basis point) ส่วนการเปลี่ยนจากรายวันเป็นทบต้นถี่อย่างไม่สิ้นสุดเพิ่มผลตอบแทนน้อยกว่าหนึ่งในสี่เบสิสพอยต์ ขีดจำกัดนั้นคือการทบต้นแบบต่อเนื่อง (continuous compounding) ซึ่งเปลี่ยนจากสูตรแบบแบ่งงวดมาใช้ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล:

EAR = e^(Stated annual rate) − 1 = e^0.12 − 1 = 12.75%

ทั้งการทบต้นรายวันและแบบต่อเนื่องปัดเป็น 12.75% เมื่อใช้ทศนิยมสองตำแหน่ง ด้วยเหตุนี้ โจทย์ที่ต้องการแยกสองกรณีนี้จึงใช้ทศนิยมมากขึ้น หรือถามว่ากรณีใดให้ค่าสูงกว่าแทนการถามหาตัวเลข

คำนวณย้อนกลับยากกว่า

โจทย์ให้คำนวณย้อนกลับบ่อยกว่าที่ผู้สอบคาด เมื่อกำหนดอัตราที่แท้จริงต่อปีเป้าหมายไว้ที่ 12% อัตราที่ระบุสำหรับการทบต้นรายเดือนจะไม่ใช่ 12% แต่จะต่ำกว่า เพราะการทบต้นรายเดือนช่วยสร้างผลตอบแทนส่วนหนึ่ง

Stated annual rate = [(1.12)^(1/12) − 1] × 12 = 11.39%

อัตราที่เสนอทั้งสองแบบให้ผลตอบแทนเท่ากัน แต่เขียนเป็นตัวเลขต่างกัน นี่คือเหตุผลที่อัตราที่แท้จริงต่อปีเหมาะสำหรับใช้เปรียบเทียบ เพราะเป็นตัวเลขเดียวในกลุ่มนี้ที่มีความหมายเหมือนกันเมื่อเปรียบเทียบสัญญาที่ใช้รูปแบบการทบต้นต่างกัน

ตารางสรุป

อ่านความถี่ก่อนอ่านอัตรา นิสัยข้อนี้ทำให้โจทย์ส่วนใหญ่กลายเป็นการเลือกสูตรได้ทันที เพราะเมื่อรู้ m แล้ว รูปแบบสูตรก็ตายตัวและไม่ต้องตัดสินใจอะไรเพิ่ม

หลักการทบต้นเดียวกันนี้ใช้กับผลตอบแทนเฉลี่ยเรขาคณิตเทียบกับผลตอบแทนเฉลี่ยเลขคณิต ในทั้งสองกรณี การนำค่ารายงวดมาบวกกันให้คำตอบแบบหนึ่ง แต่การทบต้นให้ผลตอบแทนที่เกิดขึ้นจริง

Charter5m เป็นเครื่องมือเตรียมสอบอิสระและไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ CFA Institute โดย CFA Institute ไม่ได้รับรอง ส่งเสริม หรือรับประกันความถูกต้องหรือคุณภาพของเนื้อหานี้ CFA® เป็นเครื่องหมายการค้าจดทะเบียนของ CFA Institute