幾何與算術平均收益率：7.49%，不是 8.33%

Quantitative Methods·2026年8月28日·5 分鐘閱讀

某投資組合的收益率依次為 20%、−10% 和 15%。直接對這三個數字求平均的考生會得到每年 8.33%，但該組合實際的複合年增長率為 7.49%，因為只有幾何平均收益率 (geometric mean return)才能還原投資組合真正達到的期末價值。

兩種平均數回答不同的問題

兩者都是同一組三個數字的平均數，在算術上也都正確，但不能互換，因為它們要回答的問題不同。

Arithmetic mean return = (R_1 + R_2 + ... + R_n) / n

Geometric mean return = [(1 + R_1)(1 + R_2)...(1 + R_n)]^(1/n) − 1

算術平均收益率 (arithmetic mean return)把各期收益率相加，因此將每一期視為一次全新且相互獨立的結果。題目只問單期時，它就是合適的平均數：對典型年份的實際結果賦予相同權重。幾何平均收益率則把增長因子相乘，因此會把每一期的期末價值帶入下一期。題目若問一筆資金經過多期後實際增長到多少，資金真正經歷的運算就是乘法。

把百分比相加很符合直覺，但用於多期增長時卻是錯誤的，這正是整道題的陷阱。題目只説“平均收益率”時，不會直接告訴你該用哪種運算，因此要尋找有關複利或整個期間年均增長的措辭。

計算三年期例題

初始金額為 100，三個年度的收益率分別為 20%、−10% 和 15%。

Arithmetic mean = (0.20 − 0.10 + 0.15) / 3 = 0.25 / 3 = 8.33%

Growth factors: 1.20 × 0.90 × 1.15 = 1.242

Geometric mean = 1.242^(1/3) − 1 = 7.49%

用賬户餘額檢驗兩種結果。投資組合期末價值為 100 × 1.242 = 124.20。按幾何平均收益率進行複合增長 (compound growth)，得到 100 × 1.0749^3 = 124.20，與實際結果相同。按算術平均收益率進行複利計算，得到 100 × 1.0833^3 = 127.14，比該投資組合實際擁有過的金額多出 2.94。

127.14 並非舍入誤差，而是干擾項，也是採用 8.33% 的選項暗中聲稱的結果。

差距來自波動，而且方向絕不會反過來

幾何平均收益率絕不會高於算術平均收益率。只有每一期收益率完全相同時，兩者才相等；換句話説，收益率必須毫無離散度 (dispersion)。只要存在任何變化，兩者就會拉開差距，而且變化越大，差距越大。

這個差距的大小可以估算。三個收益率相對 8.33% 的偏差分別為 11.67%、−18.33% 和 6.67%。將它們平方後取三者平均，得到方差 (variance) 0.01722，對應的標準差 (standard deviation)為 13.12%。

Geometric mean ≈ arithmetic mean − variance / 2 = 8.33% − 0.86% = 7.47%

與精確值 7.49% 相比，這個近似結果足以讓你在幾秒內判斷選項是否合理。波動越大，影響就越明顯。某投資組合先上漲 50%，再下跌 50%，其算術平均收益率恰好為零，但 100 會先變成 150，再變成 75。幾何平均收益率為 (1.50 × 0.50)^(1/2) − 1 = −13.40%。同樣兩個數字，一邊是平均收益率為零，另一邊卻損失了四分之一的資金。

快速參考

一個習慣可以消除這裏的大部分風險。算出平均收益率後，按題目所述期間進行複利計算，再與題目給出的期末價值比較。只要各期收益率存在差異，算術平均收益率就會得出偏高的結果；在最終選擇答案前，你就能看出這種不一致。

同樣的區別也出現在資金加權收益率與時間加權收益率中：同一組收益率可以得到兩個合理的平均數，而題目已經決定了它要問哪一個。

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