幾何平均と算術平均：7.49%、8.33%ではない
あるポートフォリオの収益率が、20%、−10%、15%の順だったとします。三つの数値を平均しただけなら年率8.33%となりますが、実際の複利ベースの収益率は7.49%です。ポートフォリオが実際に到達した期末価値を再現できるのは、幾何平均収益率 (geometric mean return)だけだからです。
二つの平均は異なる問いに答えます
算術平均収益率 (arithmetic mean return)と幾何平均収益率は、同じ三つの数値の平均であり、どちらも計算として正しいものです。ただし、答える問いが異なるため、互いに置き換えることはできません。
Arithmetic mean return = (R_1 + R_2 + ... + R_n) / n
Geometric mean return = [(1 + R_1)(1 + R_2)...(1 + R_n)]^(1/n) − 1
算術平均は収益率を足し合わせるため、各期間を新たな独立した観測として扱います。だから、典型的な一年間に起きたことを等しいウェイトで平均するなど、一期間について問う場合には適切な平均です。一方、幾何平均は成長倍率を掛け合わせるため、各期間の期末価値を次の期間へ引き継ぎます。ある金額が複数期間で実際にいくらまで増えたかを問う場合、資金の動きを表す演算は掛け算です。
直感的にはパーセンテージを足したくなりますが、複数期間の成長では誤りです。これが問題のひっかけです。平均収益率を問う文言だけでは、どちらの演算を選ぶかは分かりません。全期間を通じた複利成長 (compound growth)や年率成長に触れている表現を探してください。
三年間の例題を解く
100から始めます。三年間の年間収益率は20%、−10%、15%です。
Arithmetic mean = (0.20 − 0.10 + 0.15) / 3 = 0.25 / 3 = 8.33%
Growth factors: 1.20 × 0.90 × 1.15 = 1.242
Geometric mean = 1.242^(1/3) − 1 = 7.49%
口座残高と照らして、両方を確認します。ポートフォリオの期末価値は100 × 1.242 = 124.20です。幾何平均を複利計算すると100 × 1.0749^3 = 124.20となり、同じ値になります。算術平均を複利計算すると100 × 1.0833^3 = 127.14となり、ポートフォリオが実際に保有した金額を2.94上回ります。
この127.14は丸め誤差ではありません。これは誤答の選択肢であり、8.33%に基づく選択肢が暗に主張している金額です。
差を生むのはボラティリティで、逆方向にはなりません
幾何平均が算術平均を上回ることはありません。両者が等しくなるのは、すべての期間の収益率が同一の場合だけです。言い換えれば、収益率の分散度 (dispersion)がまったくない場合です。少しでもばらつきがあれば両者に差が生じ、ばらつきが大きいほど差も広がります。
この差のおおよその大きさは推定できます。8.33%からの三つの偏差、11.67%、−18.33%、6.67%を求めます。それぞれを二乗し、三つの平方の平均を取ると、分散 (variance)は0.01722、標準偏差 (standard deviation)は13.12%です。
Geometric mean ≈ arithmetic mean − variance / 2 = 8.33% − 0.86% = 7.47%
正確な7.49%と比べても、この近似値は数秒で選択肢の妥当性を確認するには十分近い値です。ボラティリティが高まると、その影響は明確になります。50%上昇した後に50%下落するポートフォリオの算術平均はちょうどゼロですが、100は150になった後、75になります。幾何平均は(1.50 × 0.50)^(1/2) − 1 = −13.40%です。同じ二つの数値から、平均収益率はゼロでも資金の四分の一が失われます。
早見表
| 問題文の表現 | 判断できること | 見落とした場合のリスク |
|---|---|---|
| 期間全体の平均年間収益率 | 複利成長なので幾何平均 | 収益率を単純平均し、成長率を過大評価する |
| 次期の期待収益率 | 一期間なので算術平均 | 幾何平均を使い、推定値を過小評価する |
| 期末価値または最終資産額 | 成長倍率を掛け合わせるため、幾何平均のみ | 代わりに算術平均を複利計算する |
| 毎期の収益率が同一 | 二つの平均は一致する | 存在しない差を探す |
一つの習慣で、ここでのリスクの大半を取り除けます。平均収益率を求めたら、指定された期間にわたって複利計算し、その結果を問題で示された期末価値と比較してください。収益率にばらつきがあれば、算術平均は必ず上振れします。その不一致は、選択肢を確定する前に確認できます。
同じ違いは、金額加重収益率と時間加重収益率にも現れます。一組の収益率から、根拠のある二つの平均が得られ、どちらを求めるかは問題文ですでに決まっています。
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