金額加重収益率と時間加重収益率：18.02%か21.83%か
ある投資家が50で一株を購入し、一年後に65でもう一株を追加購入し、二年目の終わりに二株とも70で売却します。配当は毎年一株当たり2受け取ります。金額加重収益率 (money-weighted return)は年率18.02%です。時間加重収益率 (time-weighted return)は年率21.83%です。同じポートフォリオ、同じ配当でも、答えは二つあります。マネージャーの運用実績を問う問題が求めているのは、二つ目の答えです。
二つの指標は異なる問いに答えます
金額加重収益率は、ポートフォリオの内部収益率 (internal rate of return, IRR)です。すべてのキャッシュフローの現在価値をゼロと置き、割引率を求めます。残高が大きい期間ほど計算への影響が大きいため、最も多くの資金が投じられていた期間に高いウェイトがかかります。そして、その資金をいつ拠出するかを決めたのは通常、投資家です。
時間加重収益率は、残高の大きさを完全に無視します。外部キャッシュフロー (external cash flow)が発生するたびに全期間を分割し、各サブ期間 (subperiod)の保有期間リターン (holding period return)を計算してから、幾何学的に連結します。
Time-weighted return = [(1 + HPR_1) × (1 + HPR_2) × ... × (1 + HPR_n)] − 1
その積では、口座にいくら入っていたかに関係なく、各サブ期間に同じウェイトが与えられます。これが指標の目的です。悪い四半期の一週間前に顧客が入金したからといって、マネージャーの銘柄選択能力が悪化したわけではありません。したがって、マネージャーを評価する指標は、その入金にまったく反応すべきではありません。
50と65の例題を解く
一年目は50で購入した一株を保有します。年末の株価は65で、すでに配当2を受け取っています。二年目の期首には合計130の二株を保有し、140で売却して配当4を受け取ります。
HPR_1 = (65 + 2 − 50) / 50 = 17 / 50 = 34.00%
HPR_2 = (140 + 4 − 130) / 130 = 14 / 130 = 10.77%
Linked return = (1.3400 × 1.1077) − 1 = 48.43% over two years
Time-weighted return = (1.4843)^(1/2) − 1 = 21.83% a year
次に金額加重の場合を考えます。キャッシュフローは、時点ゼロで50の支出、一年目末に63の支出（株式購入に支払った65から受取配当2を差し引く）、二年目末に144の収入（売却代金140に配当4を加える）です。
−50 − 63 / (1 + r) + 144 / (1 + r)² = 0, so r = 18.02%
どちらの数値も正解です。二株目を収益率の低い年の直前に購入したため、差が生じます。二年目は130が10.77%で運用された一方、一年目には50だけが34.00%で運用されました。金額で加重すると、34.00%だった年は投資額が小さいため、評価が低くなります。金額加重収益率は投資家の資金が実際にどう増減したかを示します。時間加重収益率は、一単位の資金を追加も引き出しもせず運用した場合の成果を示します。
両側にある誤答の選択肢
二つの保有期間リターンを平均すると(34.0000% + 10.7692%) / 2 = 22.38%です。21.83%に十分近いため、計算方法の誤りではなく丸め誤差のように見えます。これは幾何平均 (geometric mean)を使うべきところで、収益率の算術平均 (arithmetic mean)を使った結果です。両者が一致するのは、すべてのサブ期間の収益率が同じ場合だけです。
もう一つの誤りは、48.43%を答えとして示すことです。これは正しい連結収益率ですが、二年間の収益率です。年率を問う問題では、平方根を取る必要があります。
さらに、正しく計算した金額加重収益率をマネージャーの運用実績として提示するという、指標の取り違えがあります。GIPS基準 (GIPS standards)は任意基準ですが、準拠を表明する企業は時間加重収益率を提示しなければなりません。ただし、企業が外部キャッシュフローを管理しており、かつポートフォリオがクローズドエンド型、存続期間が固定、コミットメントが固定、または戦略の重要な部分として非流動性投資を保有する場合に限り、代わりに金額加重収益率を提示できます。両方の条件を満たす必要があります。この例外が一般的に当てはまるのはプライベート市場戦略です。顧客が自由に入出金できる個別運用口座は、ほかの条件を検討する前に、キャッシュフローの管理という条件を満たしません。
早見表
| 問題文の表現 | 判断できること | 見落とした場合のリスク |
|---|---|---|
| マネージャーを評価する | 時間加重収益率 | 代わりに投資家のIRRを報告する |
| 投資家の資金に対する収益率 | 金額加重収益率 | 入出金の影響を受けない数値を報告する |
| 年率収益率 | サブ期間の幾何平均 | 複数年の連結収益率をそのまま答える |
| 企業がキャッシュフローを管理する | 金額加重で報告するための二条件のうち、一つ目だけ | 企業による管理だけで十分だと考える |
| 期間中の追加購入 | サブ期間の区切り | 全期間を一期間として扱う |
計算機に触れる前に、動詞を読んでください。「マネージャーを評価する」と「投資家が得た収益率を計算する」では、使う式が異なります。そして通常、両方の式から得られる数値が選択肢に並んでいます。計算自体は短く、時間をかけるべきなのは、問題がどの指標を求めているかの判断です。
同じ判断は、二資産ポートフォリオのリスクにも必要です。入力値を平均するのは自然に思えますが、計算ミスではなく構造的な理由で誤りになります。
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