Retorno pelo dinheiro vs pelo tempo: 18.02% ou 21.83%
Um investidor compra uma ação por 50, compra uma segunda ação um ano depois por 65 e vende ambas por 70 após o segundo ano, recebendo dividendo de 2 por ação a cada ano. O retorno ponderado pelo dinheiro (money-weighted return) é 18.02% ao ano. O retorno ponderado pelo tempo (time-weighted return) é 21.83% ao ano. Mesma carteira, mesmos dividendos, duas respostas diferentes, e uma questão que pergunta qual foi o desempenho do gestor pede a segunda.
As duas medidas respondem a perguntas diferentes
O retorno ponderado pelo dinheiro é a taxa interna de retorno (internal rate of return, IRR) da carteira. Iguale a zero o valor presente de todos os fluxos de caixa e resolva para a taxa de desconto. Como um saldo maior domina o cálculo, a medida atribui mais peso aos períodos em que havia mais dinheiro investido, e normalmente foi o investidor quem decidiu quando esse dinheiro entrou.
O retorno ponderado pelo tempo ignora totalmente o tamanho do saldo. Divida o horizonte em cada fluxo de caixa externo (external cash flow), calcule o retorno do período de retenção (holding period return, HPR) dentro de cada subperíodo (subperiod) e depois encadeie os resultados geometricamente.
Time-weighted return = [(1 + HPR_1) × (1 + HPR_2) × ... × (1 + HPR_n)] − 1
Cada subperíodo recebe o mesmo peso nesse produto, não importa quanto dinheiro havia na conta. Esse é o objetivo. Um cliente que faz um depósito uma semana antes de um trimestre ruim não piorou a capacidade do gestor de escolher títulos; portanto, a medida usada para avaliar o gestor não deve reagir ao depósito.
Resolvendo o exemplo de 50 e 65
No primeiro ano, há uma ação comprada por 50. Ao fim do ano, ela vale 65, e um dividendo de 2 já foi recebido. No segundo ano, há duas ações valendo 130 no início, vendidas por 140, além de 4 em dividendos recebidos.
HPR_1 = (65 + 2 − 50) / 50 = 17 / 50 = 34.00%
HPR_2 = (140 + 4 − 130) / 130 = 14 / 130 = 10.77%
Linked return = (1.3400 × 1.1077) − 1 = 48.43% over two years
Time-weighted return = (1.4843)^(1/2) − 1 = 21.83% a year
Agora, a versão ponderada pelo dinheiro. Os fluxos de caixa são: saída de 50 no tempo zero; saída de 63 no fim do primeiro ano (65 pagos pela ação, menos o dividendo de 2 recebido); e entrada de 144 no fim do segundo ano (140 da venda mais 4 em dividendos).
−50 − 63 / (1 + r) + 144 / (1 + r)² = 0, so r = 18.02%
Os dois números estão corretos. A diferença surge porque a segunda ação foi comprada logo antes do ano mais fraco: no segundo ano, 130 ficaram expostos a um retorno de 10.77%, enquanto, no primeiro, apenas 50 estiveram expostos a um retorno de 34.00%. A ponderação pelo dinheiro penaliza o ano de 34.00% por ele envolver pouco capital. O retorno ponderado pelo dinheiro mostra o que aconteceu com o patrimônio do investidor. O retorno ponderado pelo tempo mostra o que teria acontecido com uma unidade monetária mantida sem novos aportes ou saques.
Os distratores de cada lado
Calcular a média dos dois retornos do período de retenção resulta em (34.0000% + 10.7692%) / 2 = 22.38%, próximo o suficiente de 21.83% para parecer uma diferença de arredondamento, não um método errado. É a média aritmética dos retornos sendo usada onde cabe a média geométrica, e as duas só coincidem quando o retorno de todos os subperíodos é idêntico.
Outra armadilha é apresentar 48.43% como resposta. Esse é o retorno encadeado correto, mas cobre dois anos. Uma questão que pede um valor anual exige calcular a raiz quadrada.
Há ainda a inversão: calcular corretamente o retorno ponderado pelo dinheiro e apresentá-lo como desempenho do gestor. Os padrões GIPS (GIPS standards) são voluntários, mas uma empresa que afirma estar em conformidade com eles deve apresentar retornos ponderados pelo tempo. Ela só pode apresentar retornos ponderados pelo dinheiro no lugar deles quando controla os fluxos de caixa externos e a carteira é fechada, tem prazo fixo, possui compromisso fixo ou mantém investimentos ilíquidos como parte relevante da estratégia. As duas condições precisam ser atendidas. Estratégias de mercados privados são o ambiente mais comum para essa exceção; uma conta administrada separadamente, na qual o cliente faz aportes e resgates quando quiser, falha no teste de controle antes mesmo de se considerar o restante.
Referência rápida
| Redação da questão | O que ela estabelece | Risco se passar despercebido |
|---|---|---|
| Avaliar o gestor | Retorno ponderado pelo tempo | Informar a IRR do investidor |
| Retorno sobre o dinheiro do investidor | Retorno ponderado pelo dinheiro | Informar um valor que os depósitos não podem afetar |
| Retorno anual | Média geométrica dos subperíodos | Apresentar o retorno encadeado de vários anos |
| A empresa controla os fluxos de caixa | Apenas a primeira de duas condições para informar retornos ponderados pelo dinheiro | Tratar o controle da empresa, por si só, como suficiente |
| Compra adicional no meio do horizonte | Um limite de subperíodo | Tratar o horizonte como um único período |
Leia o verbo antes de tocar na calculadora. “Avaliar o gestor” e “calcular o retorno obtido pelo investidor” apontam para fórmulas diferentes, e as duas costumam aparecer nas alternativas. A aritmética é curta; identificar qual medida a questão pediu é a parte em que vale reduzir o ritmo.
O mesmo reflexo aparece no risco de uma carteira com dois ativos, em que calcular a média dos dados parece natural, mas está errado por uma razão estrutural, não aritmética.
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