資金加權與時間加權收益率：18.02% 還是 21.83%
某投資者以 50 買入一股，一年後以 65 再買入一股，第二年末以 70 賣出兩股，並在每年收取每股 2 的股息。資金加權收益率 (money-weighted return)為每年 18.02%，時間加權收益率 (time-weighted return)為每年 21.83%。同一投資組合、同樣的股息，卻有兩個不同答案；題目若問管理人的表現，就應選擇後者。
兩種指標回答不同的問題
資金加權收益率就是投資組合的內部收益率 (internal rate of return)。令所有現金流的現值之和等於零，再求解折現率。由於金額較大的餘額會在計算中佔據更大權重，該指標會側重資金投入最多的時期，而資金何時進入通常由投資者決定。
時間加權收益率完全不考慮賬户餘額的大小。在每一筆外部現金流 (external cash flow)發生時劃分期間，計算每個子期間 (subperiod)內的持有期收益率 (holding period return)，再以幾何方式鏈接起來。
Time-weighted return = [(1 + HPR_1) × (1 + HPR_2) × ... × (1 + HPR_n)] − 1
無論賬户中有多少資金，乘積中的每個子期間權重都相同，這正是該指標的用意。客户若恰好在表現不佳的季度前一週轉入資金，並不會削弱管理人選擇證券的能力，因此用於評價管理人的指標根本不應受到這筆存款影響。
計算 50 和 65 的例題
第一年持有一股，買入價為 50；年末該股價值 65，且已收到 2 的股息。第二年初持有兩股，總值 130；年末以 140 賣出，並收到 4 的股息。
HPR_1 = (65 + 2 − 50) / 50 = 17 / 50 = 34.00%
HPR_2 = (140 + 4 − 130) / 130 = 14 / 130 = 10.77%
Linked return = (1.3400 × 1.1077) − 1 = 48.43% over two years
Time-weighted return = (1.4843)^(1/2) − 1 = 21.83% a year
再看資金加權版本。現金流為：時點零流出 50；第一年末流出 63（買入股票支付 65，減去收到的股息 2）；第二年末流入 144（出售股票所得 140，加上股息 4）。
−50 − 63 / (1 + r) + 144 / (1 + r)² = 0, so r = 18.02%
兩個數字都正確。出現差距，是因為第二股恰好在表現較弱的一年前買入：第二年有 130 的資金獲得 10.77% 的收益率，而第一年只有 50 的資金獲得 34.00%。按資金金額加權，會因為 34.00% 對應的投入較少而降低該年的影響。資金加權收益率反映投資者資金的實際結果，時間加權收益率則反映一單位資金不受外部現金流乾擾時的表現。
兩側的干擾項
對兩個持有期收益率直接求平均，得到 (34.0000% + 10.7692%) / 2 = 22.38%。它與 21.83% 足夠接近，看起來像舍入差異，而不是方法錯誤。這相當於在該用幾何平均收益率 (geometric mean return)的地方使用算術平均收益率 (arithmetic mean return)；只有每個子期間的收益率完全相同時，兩者才會相等。
另一個陷阱是把 48.43% 當作答案。這是正確的鏈接收益率，但覆蓋兩年。題目若要求年化數字，就需要開平方。
還有一種錯誤是把兩者顛倒：正確算出資金加權收益率後，卻把它作為管理人的業績。GIPS 標準 (GIPS standards)是自願性標準，但聲稱符合該標準的公司必須列報時間加權收益率；只有當公司控制外部現金流，而且投資組合為封閉式、期限固定、承諾金額固定，或非流動性投資在策略中佔有重要比重時，才可改為列報資金加權收益率。兩個方面的條件都必須滿足。私募市場策略是這種例外最常見的場景；對於客户可以隨時存取資金的獨立管理賬户，控制權測試這一關就已經無法通過，無需再判斷其他條件。
快速參考
| 題目措辭 | 能夠確定什麼 | 忽略後的風險 |
|---|---|---|
| 評價管理人 | 時間加權收益率 | 誤報投資者的 IRR |
| 投資者資金的收益率 | 資金加權收益率 | 報告一個不受存款影響的數字 |
| 年收益率 | 子期間收益率的幾何平均數 | 直接引用多年鏈接收益率 |
| 公司控制現金流 | 採用資金加權收益率列報的兩個條件之一 | 誤以為公司控制現金流這一項就足夠 |
| 期間內追加買入 | 形成一個子期間邊界 | 把整個期限當作單一期限 |
拿起計算器前，先看題目的動詞。“評價管理人”和“計算投資者賺取的收益率”指向不同公式，而兩個公式算出的結果通常都會出現在選項中。計算很短，真正值得放慢速度的是識別題目問的究竟是哪一種指標。
同樣的判斷也出現在雙資產投資組合風險中：對輸入數據求平均看似自然，卻會因為結構性原因而出錯，並非算術算錯。
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