投資組合風險與相關性陷阱
一道練習題給出兩項資產，波動率分別為20%和10%，權重均為0.5，相關係數 (correlation coefficient) 為0。考生沿用熟悉的預期回報率方法，對兩個波動率取平均並選擇15.00%。正確的組合標準差 (standard deviation)是11.18%。計算並不難；丟分是因為忽略了描述兩項資產如何共同變動的那個輸入。
預期回報率與風險採用不同的計算方式
投資組合的預期回報率由每項資產的預期回報率及其權重構成。這裏不需要交互項，因為計算要回答的是每項持倉對投資組合平均結果貢獻了多少。
E(Rₚ) = w₁E(R₁) + w₂E(R₂)
風險則不同，因為兩項有波動的資產可能同時漲跌、反向變動，也可能介於這兩種極端情況之間。因此，各自的標準差只能説明部分情況。
σₚ = √(w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂)
權重的位置很重要。在組合方差 (variance) 中，每個權重都要平方；只有在合併所有方差項後才能開平方。直接對標準差取簡單平均會完全跳過這一結構。計算器屏幕上的結果可能看起來很規整，但它回答的並不是投資組合公式提出的問題。
最後一項捕捉的是資產間的交互關係。其中的相關係數 ρ₁₂ 將兩項資產的變動聯繫起來；省略這一項，不只是簡化計算，而是改變了所問的經濟問題。
相關性帶來分散化收益
對於兩個權重和兩個波動率都為正的純多頭投資組合，ρ₁₂ = 1 是 σₚ 等於 w₁σ₁ + w₂σ₂ 的唯一情形。兩項資產完全同向變動，因此與加權波動率基準相比，將它們組合起來不會降低風險。
在這些條件下，只要 ρ₁₂ 低於1，組合標準差就會低於該基準。兩者之間的差距就是分散化收益 (diversification benefit)。相關係數為0仍會產生分散化收益：它會使方差計算中的相關項變為零，但不會讓組合風險變成兩個標準差的直接平均值。
計算零相關投資組合
即使相關係數在數值上的影響為零，也必須把它納入計算設置。這個區別很容易被忽視：值為零的項已經過考慮並得出結果，而省略一項則意味着根本沒有評估資產之間的關係。
題目給出的相等權重在平方後為0.25。20%和10%的波動率以0.04和0.01進入方差計算，而 ρ = 0 使最後一項為零。
σₚ = √(0.25 × 0.04 + 0.25 × 0.01 + 0) = √0.0125 = 11.18%
15.00%這個選項來自 0.5 × 20% + 0.5 × 10%。它是一個很有迷惑性的干擾項，因為每個數字都用上了，加權平均的結構看起來也合理，但題目給出的相關係數卻消失了。沒有用到相關係數就是警示信號。
速查表
| 題目信息 | 它改變什麼 | 常見理解錯誤 |
|---|---|---|
| 預期回報率 | 直接對各項回報率加權 | 把同一種方法套用到波動率上 |
| 給出相關係數 | 資產間交互關係進入組合方差 | 未使用該信息就完成計算 |
| ρ = 1 | 相對於加權波動率基準沒有降低 | 誤以為這種等式普遍成立 |
| ρ 低於1 | 組合風險低於該基準 | 忽略分散化收益 |
| ρ = 0 | 交互項變為零 | 誤稱不存在分散化 |
ρ = 1 時的等式取決於附帶條件：純多頭投資組合，且權重和波動率均為正。考試題經常把真正的考點藏在這些字眼裏。一個省略條件的説法，即使等式看起來熟悉，也可能是錯的；如果題目給出相關係數或協方差 (covariance)，則是在提示你必須把持倉之間的關係納入計算。
這與稅後債務成本陷阱的結構相同：兩者都會在某個輸入需要先經過特殊處理再彙總時，懲罰直接套用熟悉加權平均方法的做法。
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