포트폴리오 위험과 상관관계 함정
연습문제에서 변동성이 각각 20%와 10%인 두 자산, 동일한 0.5 가중치, 0의 상관관계를 제시합니다. 익숙한 기대수익률 계산법을 그대로 적용할 수 있다고 생각한 수험생은 두 변동성을 평균해 15.00%를 선택합니다. 올바른 포트폴리오 표준편차 (standard deviation)는 11.18%입니다. 계산은 어렵지 않습니다. 두 자산이 함께 움직이는 방식을 설명하는 입력값 하나를 놓쳐 점수를 잃는 것입니다.
기대수익률과 위험은 계산 방식이 다르다
포트폴리오 기대수익률은 각 자산의 기대수익률과 가중치로 계산합니다. 각 보유자산이 포트폴리오의 평균 성과에 얼마나 기여하는지를 묻는 계산이므로 상호작용 항은 필요하지 않습니다.
E(Rₚ) = w₁E(R₁) + w₂E(R₂)
위험은 다릅니다. 변동성이 있는 두 자산은 동시에 오르내릴 수도 있고, 반대 방향으로 움직일 수도 있으며, 그 중간 형태를 보일 수도 있습니다. 따라서 개별 표준편차만으로는 전체 상황을 알 수 없습니다.
σₚ = √(w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂σ₁σ₂ρ₁₂)
가중치의 위치가 중요합니다. 포트폴리오 분산 (variance) 안에서는 각 가중치를 제곱하며, 분산 항을 모두 합친 뒤에만 제곱근을 구합니다. 표준편차를 단순 평균하면 이 구조를 완전히 건너뜁니다. 계산기 화면에는 깔끔하게 보일 수 있지만 포트폴리오 공식이 요구하지 않은 값을 계산한 것입니다.
마지막 항은 상호작용을 나타냅니다. 이 항의 상관계수 (correlation coefficient)인 ρ₁₂가 두 자산의 움직임을 연결합니다. 이 항을 빼면 계산을 단순화하는 것이 아니라 경제적 질문 자체를 바꾸게 됩니다.
상관관계가 분산투자 효과를 만든다
두 가중치와 두 변동성이 모두 양수인 롱온리 포트폴리오에서 σₚ가 w₁σ₁ + w₂σ₂와 같아지는 유일한 경우는 ρ₁₂ = 1일 때입니다. 자산들이 완전히 같은 방향으로 움직이므로, 결합하더라도 가중 변동성 기준보다 위험이 줄지 않습니다.
이 조건에서 ρ₁₂가 1보다 낮으면 포트폴리오 표준편차는 기준보다 낮습니다. 그 차이가 분산투자 효과 (diversification benefit)입니다. 상관관계가 0이어도 효과는 존재합니다. 분산 계산에서 상관관계 항이 사라질 뿐, 포트폴리오 위험이 두 표준편차의 단순 평균으로 바뀌지는 않습니다.
상관관계가 영인 포트폴리오 계산
수치상 효과가 영이더라도 상관관계는 계산 설정에 포함해야 합니다. 이 차이를 놓치기 쉽습니다. 값이 영인 항은 고려한 뒤 처리된 것이지만, 항을 아예 생략하면 자산 간 관계를 평가하지 않은 것입니다.
문제의 동일 가중치를 제곱하면 0.25가 됩니다. 20%와 10%의 변동성은 분산 계산에 0.04와 0.01로 들어가며, ρ = 0이므로 마지막 항은 영이 됩니다.
σₚ = √(0.25 × 0.04 + 0.25 × 0.01 + 0) = √0.0125 = 11.18%
15.00%라는 선택지는 0.5 × 20% + 0.5 × 10%에서 나옵니다. 모든 숫자를 사용했고 가중평균 구조도 타당해 보여 그럴듯한 오답이지만, 문제에서 제시한 상관관계가 사라졌습니다. 바로 이 누락이 경고 신호입니다.
빠른 정리
| 문제의 정보 | 달라지는 부분 | 흔한 해석 오류 |
|---|---|---|
| 기대수익률 | 각 수익률에 가중치를 직접 적용 | 변동성에도 같은 방법을 적용 |
| 상관관계 제시 | 자산 간 상호작용이 포트폴리오 분산에 반영 | 이를 사용하지 않고 계산을 끝냄 |
| ρ = 1 | 가중 변동성 기준 대비 감소 없음 | 이 등식이 항상 성립한다고 가정 |
| ρ가 1 미만 | 포트폴리오 위험이 해당 기준보다 낮아짐 | 분산투자 효과를 놓침 |
| ρ = 0 | 상호작용 항이 영이 됨 | 분산투자 효과가 없다고 판단 |
ρ = 1에서의 등식은 양의 가중치와 양의 변동성을 가진 롱온리 포트폴리오라는 조건에 달려 있습니다. 시험 문제는 종종 이 문구에 실제 평가 요소를 숨깁니다. 조건을 빠뜨린 문장은 공식이 익숙해 보여도 틀릴 수 있습니다. 반면 상관관계나 공분산 (covariance)을 제시한 문제는 보유자산 간 관계를 계산에 포함하라는 신호입니다.
세후 부채비용 함정과 구조가 같습니다. 두 함정 모두 익숙한 가중평균을 적용하려 할 때 특정 입력값을 합산 전에 별도로 처리하지 않으면 오답으로 이어집니다.
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