ゴードン成長モデル：D1を使う（D0ではない、52.50対50.00）
ある企業が配当2.00を支払った直後で、配当は永久に5%で成長し、要求収益率 (required return)は9%と予想されています。2.00をそのまま0.04で割ると50.00です。正しい価値は52.50です。ゴードン成長モデル (Gordon growth model)が割り引くのは翌年の配当であり、それは2.10だからです。
下付き文字がこの問題の核心です
モデルを式で書くと非常に短いため、たった一文字に誤りが隠れます。
V_0 = D_1 / (r − g), where D_1 = D_0 × (1 + g) and r > g
D_0はすでに支払われた配当です。モデルが実際に評価するのはD_1です。成長させる手順を飛ばすと、わずかに異なる答えになるのではなく、毎回ちょうど(1 + g)倍だけ誤った答えになります。g = 5%では、D_0を使うと株式を4.76%過小評価します。g = 8%なら7.41%過小評価します。誤差は成長率 (growth rate)に応じて大きくなります。だから妥当性の確認でも見逃しやすいのです。50.00と52.50は丸め誤差と思えるほど近く見えますが、丸め誤差ではありません。
r > gという条件も飾りではありません。問題で成長率が要求収益率を上回ると、分母がマイナスになり、モデルはプラスの配当流列に対してマイナスの価値を返します。これは絶対値を取る合図ではなく、計算を止める合図です。
問題文のどこにD_0とD_1が隠れているか
試験問題では、配当に下付き文字が付いていることはほとんどありません。文章で説明され、その表現が下付き文字を決めます。
「支払った直後」「最近支払った」「昨年の配当」は、すべてD_0を示します。この数値は、分子に入れる前に一回成長させる必要があります。「支払う予定」「翌年に支払う見込み」「次年度の予想配当」は、いずれもD_1を直接示し、これに(1 + g)を掛けると逆方向の誤りになります。2.10をもう一度成長させると2.205となり、これを0.04で割ると55.13です。どちらの誤りも、数値だけを読み、時制を無視する同じ習慣から生じます。
最も安全な読み方は、時制を先に、数値を後に確認することです。文が、すでに行われた支払いを述べているのか、今後予想される支払いを述べているのかを判断し、計算を始める前に数値の横へD_0またはD_1と書いてください。通常、選択肢には50.00、52.50、55.13がすべて用意され、それぞれの読み方に対応しています。
配当2.00の例題を解く
冒頭の数値を使います。D_0 = 2.00、g = 5%、r = 9%です。
D_1 = 2.00 × 1.05 = 2.10
V_0 = 2.10 / (0.09 − 0.05) = 2.10 / 0.04 = 52.50
同じ関係を逆向きにたどって確認できます。配当利回り (dividend yield)は2.10 / 52.50 = 0.04で、0.04 + 0.05 = 0.09となり、要求収益率に戻ります。この恒等式は、それ自体を試験に持ち込む価値があります。
r = D_1 / P_0 + g
要求収益率は配当利回りと成長率に分かれるため、分母のr − gは価格に織り込まれた配当利回りです。問題で市場価格が示され、インプライド成長率を求める場合も、同じ式を変形します。この場合も分子はD_1です。
分母を見ると、この種の問題の値が不安定に感じられる理由も分かります。gが一パーセントポイント変わるだけで、多くの受験者が予想する以上に価値が動きます。gを6%に引き上げると、分子は2.12、分母は0.03となり、価値は70.67です。誰にも直接観測できない入力が一ポイント変わっただけで、34.6%上昇します。
同じ下付き文字のルールが最終価値にも適用されます
多段階モデル (multistage model)では、ゴードンの式で継続期間を評価し、下付き文字が再び一つ先へずれます。
V_n = D_(n+1) / (r − g_L)
V_nはn年末時点の価値で、n + 1年目の配当を使います。ここでは二つの誤りが起こります。D_nとV_nを組み合わせて元の誤りを一段階後で繰り返すか、V_nを正しく計算した後にn + 1期間で現在価値へ割り引くかです。V_nはすでに時点nにあるため、n期間で現在へ戻します。n+1年目の配当はその横ではなく、計算式の中に入ります。
gの求め方は、別の式を使う別の問題です。持続可能成長率は内部留保率と自己資本利益率の積であり、g = b × ROEです。利益の40%を内部留保し、ROEが12.5%の企業は5%の成長を維持できます。この例の5%も、ここから得られた可能性があります。gではなく配当性向とROEが示されている場合、最初にこの計算を行います。
早見表
| 問題文の表現 | 判断できること | 見落とした場合のリスク |
|---|---|---|
| 支払った直後の配当、または昨年支払った配当 | 示された数値はD_0 | 一回成長させずにr − gで割る |
| 翌年に予想される配当 | 示された数値はすでにD_1 | (1 + g)をもう一度掛ける |
| 要求収益率と成長率が示されている | r − gが分母であり、インプライド配当利回り | 引き算の順序を逆にする |
| 成長率が要求収益率を上回る | モデルを適用できない | マイナスの価値を答えとして報告する |
| 長期成長がn + 1年目に始まる | 最終価値 (terminal value)のV_nはn年目時点にある | V_nをn + 1期間で割り引く |
このモデルの計算自体は難しくありません。掛け算、引き算、割り算が各一回です。それでも試験問題に繰り返し使われるのは、紙面上ではすべての入力が入れ替え可能に見え、支払済みの配当と評価対象の配当を分けるのが文の時制だけだからです。
同じパターンは、金額加重収益率と時間加重収益率にも現れます。一組のキャッシュフローから、根拠のある二つの答えが得られ、どちらを求めるかは問題文で決まります。
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