고든 성장 모형: D0가 아닌 D1 (52.50 vs 50.00)
한 기업이 방금 2.00의 배당금을 지급했고, 배당금은 영구히 5% 성장할 것으로 예상되며 요구수익률 (required return)은 9%입니다. 2.00을 곧바로 0.04로 나누면 50.00이라고 답하게 됩니다. 정확한 가치는 52.50입니다. 고든 성장 모형 (Gordon growth model)은 다음 해의 배당금을 할인하며, 다음 해 배당금은 2.10이기 때문입니다.
아래 첨자가 함정의 전부입니다
모형을 식으로 쓰면 너무 짧아서 한 글자 안에 오류가 숨어들기 쉽습니다.
V_0 = D_1 / (r − g), where D_1 = D_0 × (1 + g) and r > g
D_0는 이미 지급된 배당금입니다. D_1이 모형이 실제로 평가하는 배당금입니다. 성장 단계를 생략하면 단지 조금 다른 답이 나오는 것이 아니라, 언제나 정확히 (1 + g)만큼 잘못된 답이 나옵니다. g = 5%일 때 D_0를 사용한 값은 주식을 4.76% 과소평가합니다. g = 8%라면 7.41% 과소평가합니다. 오차는 성장률 (growth rate)에 따라 커집니다. 그래서 50.00과 52.50을 나란히 보면 반올림 차이처럼 충분히 가까워 보여 점검 과정에서도 놓치기 쉽지만, 반올림 차이가 아닙니다.
r > g 조건도 장식이 아닙니다. 문제에서 성장률이 요구수익률보다 높게 주어지면 분모가 음수가 되고, 모형은 양의 배당금 흐름에 대해 음의 가치를 산출합니다. 이는 계산을 멈춰야 한다는 신호이지 절댓값을 취하라는 뜻이 아닙니다.
문제 표현 속에 숨은 D_0와 D_1
시험 문제는 배당금에 아래 첨자를 붙여 주는 경우가 드뭅니다. 대신 문장으로 설명하며, 그 표현이 아래 첨자를 결정합니다.
“방금 지급했다”, “최근 지급했다”, “지난해 배당금”은 모두 D_0를 뜻합니다. 이 수치는 분자에 넣기 전에 한 번 성장시켜야 합니다. “지급할 것이다”, “다음 해에 지급할 것으로 예상된다”, “향후 한 해의 예상 배당금”은 D_1을 직접 제시한 것입니다. 여기에 다시 (1 + g)를 곱하면 정반대의 실수가 됩니다. 2.10을 한 번 더 성장시키면 2.205이고, 이를 0.04로 나누면 55.13입니다. 두 오류 모두 시제를 무시하고 숫자만 읽는 같은 습관에서 생깁니다.
가장 안전한 순서는 시제를 먼저 읽고 숫자를 나중에 보는 것입니다. 문장이 이미 지급된 금액을 말하는지 앞으로 지급될 금액을 말하는지 판단한 다음, 계산 전에 해당 숫자 옆에 D_0 또는 D_1을 적으세요. 선택지에는 각 해석에 대응하는 50.00, 52.50, 55.13이 모두 제시되는 경우가 많습니다.
2.00 배당금 예제 풀기
도입부의 수치를 사용하겠습니다. D_0 = 2.00, g = 5%, r = 9%입니다.
D_1 = 2.00 × 1.05 = 2.10
V_0 = 2.10 / (0.09 − 0.05) = 2.10 / 0.04 = 52.50
같은 관계를 거꾸로 확인할 수도 있습니다. 배당수익률 (dividend yield)은 2.10 / 52.50 = 0.04이고, 0.04 + 0.05 = 0.09이므로 요구수익률로 돌아옵니다. 이 항등식은 그 자체로 시험장에 가져갈 만합니다.
r = D_1 / P_0 + g
요구수익률은 배당수익률과 성장률로 나뉘므로, 분모 r − g는 주가에 내재된 배당수익률입니다. 시장가격이 주어지고 내재 성장률을 구하라는 문제도 같은 식을 변형한 것이며, 이때도 분자는 D_1입니다.
분모를 보면 이런 문제가 불안정하게 느껴지는 이유도 알 수 있습니다. g가 한 퍼센트포인트만 변해도 가치는 대부분의 수험생이 예상하는 것보다 크게 움직입니다. g를 6%로 높이면 분자는 2.12가 되고 분모는 0.03으로 낮아져 가치는 70.67이 됩니다. 관측할 수 없는 입력값 하나가 한 포인트 변했을 뿐인데 34.6% 상승한 것입니다.
기말 가치 (terminal value)에도 같은 아래 첨자 규칙이 적용됩니다
다단계 모형 (multistage model)에서는 고든 공식이 후반부를 평가하며, 아래 첨자는 다시 한 칸 이동합니다.
V_n = D_(n+1) / (r − g_L)
V_n은 n년 말의 가치이며 n + 1년의 배당금을 사용합니다. 여기서 두 가지 오류가 발생합니다. D_n과 V_n을 짝지어 원래 실수를 한 단계 뒤에서 반복하거나, V_n을 정확히 계산한 다음 n + 1개 기간으로 다시 할인하는 것입니다. V_n은 이미 n 시점의 가치이므로 n개 기간만큼 현재로 할인해야 하며, n+1년 배당금은 V_n 옆이 아니라 그 안에 들어갑니다.
g가 어디에서 나오는지는 별개의 질문이며 자체 공식이 있습니다. 지속 가능한 성장률은 유보율에 자기자본이익률을 곱한 값으로, g = b × ROE입니다. 이익의 40%를 유보하고 ROE가 12.5%인 기업은 5% 성장을 유지할 수 있으며, 이 예제의 5%도 여기에서 도출될 수 있습니다. 문제에서 g 대신 배당성향과 ROE를 준다면 이 단계를 먼저 계산하라는 뜻입니다.
빠른 정리
| 문제 표현 | 확인되는 내용 | 놓쳤을 때의 위험 |
|---|---|---|
| 방금 지급한 배당금 또는 지난해 지급한 배당금 | 주어진 수치는 D_0입니다 | 한 번 성장시키지 않고 r − g로 나눕니다 |
| 다음 해 예상 배당금 | 주어진 수치는 이미 D_1입니다 | (1 + g)를 두 번째로 적용합니다 |
| 요구수익률과 성장률이 주어짐 | r − g가 분모이자 내재 배당수익률입니다 | 뺄셈의 순서를 뒤집습니다 |
| 성장률이 요구수익률보다 높음 | 이 모형을 적용할 수 없습니다 | 음의 가치를 정답으로 보고합니다 |
| 장기 성장이 n + 1년에 시작됨 | 기말 가치 (terminal value) V_n은 n년에 위치합니다 | V_n을 n + 1개 기간으로 할인합니다 |
이 모형의 계산 자체는 어렵지 않습니다. 곱셈 한 번, 뺄셈 한 번, 나눗셈 한 번이면 됩니다. 그런데도 시험 문제의 단골 소재가 되는 이유는 모든 입력값이 지면에서 서로 바꿔 써도 될 것처럼 보이고, 이미 지급된 배당금과 평가 대상인 배당금을 구분하는 단서가 문장의 시제뿐이기 때문입니다.
같은 패턴은 금액가중수익률과 시간 가중 수익률에서도 나타납니다. 하나의 현금흐름 집합에서 타당한 답 두 개가 나오며, 문제 표현이 그중 요구하는 답을 결정합니다.
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