기하평균 vs 산술 평균 수익률: 8.33%가 아닌 7.49%
한 포트폴리오의 수익률이 차례로 20%, −10%, 15%입니다. 세 수치를 단순 평균한 수험생은 연 8.33%라고 답하지만, 실제 포트폴리오의 복리수익률은 7.49%입니다. 포트폴리오가 실제로 도달한 기말 가치를 재현하는 것은 기하평균 수익률 (geometric mean return)뿐이기 때문입니다.
두 평균은 서로 다른 질문에 답합니다
산술 평균 수익률 (arithmetic mean return)과 기하평균 수익률은 같은 세 수치의 평균이며, 계산상 둘 다 맞습니다. 하지만 서로 다른 질문에 맞게 만들어졌으므로 바꿔 쓸 수 없습니다.
Arithmetic mean return = (R_1 + R_2 + ... + R_n) / n
Geometric mean return = [(1 + R_1)(1 + R_2)...(1 + R_n)]^(1/n) − 1
산술 평균은 수익률을 더하므로 각 기간을 새롭고 독립적인 관측치로 취급합니다. 따라서 한 기간을 묻는 문제, 즉 전형적인 한 해에 발생한 결과를 동일가중으로 평균할 때 적합합니다. 반면 기하평균은 성장계수를 곱하므로 각 기간의 기말 가치를 다음 기간으로 이어 갑니다. 여러 기간에 걸쳐 일정 금액이 실제로 얼마까지 늘었는지를 묻는다면, 곱셈이 그 돈이 실제로 거친 연산입니다.
퍼센트를 더하는 것이 직관적으로 느껴지지만 다기간 복리 성장 (compound growth)에는 잘못된 방법입니다. 이것이 함정의 전부입니다. 평균 수익률을 묻는 표현만으로는 어떤 연산을 선택해야 하는지 드러나지 않으므로, 전체 기간의 복리계산이나 연간 성장에 관한 문구를 찾아야 합니다.
세 해의 예제 풀기
100으로 시작합니다. 세 해의 연간 수익률은 20%, −10%, 15%입니다.
Arithmetic mean = (0.20 − 0.10 + 0.15) / 3 = 0.25 / 3 = 8.33%
Growth factors: 1.20 × 0.90 × 1.15 = 1.242
Geometric mean = 1.242^(1/3) − 1 = 7.49%
두 값 모두 계좌 잔액과 대조해 보겠습니다. 포트폴리오의 기말 잔액은 100 × 1.242 = 124.20입니다. 기하평균을 복리로 적용하면 100 × 1.0749^3 = 124.20으로 같은 값이 나옵니다. 산술 평균을 복리로 적용하면 100 × 1.0833^3 = 127.14로, 포트폴리오가 실제 보유했던 금액보다 2.94 더 많습니다.
이 127.14는 반올림 오차가 아닙니다. 오답 유도용 수치이며, 8.33%를 바탕으로 만든 선택지가 암묵적으로 주장하는 값입니다.
차이는 변동성에서 생기며 반대 방향으로는 절대 벌어지지 않습니다
기하평균은 산술 평균보다 절대 높지 않습니다. 모든 기간의 수익률이 같을 때만 두 값이 같아지며, 이는 수익률의 분산도 (dispersion)가 전혀 없다는 뜻이기도 합니다. 조금이라도 차이가 나면 두 평균은 벌어지고, 차이가 클수록 간격도 커집니다.
그 차이의 크기는 추정할 수 있습니다. 8.33%에서 각 수익률이 벗어난 정도는 11.67%, −18.33%, 6.67%입니다. 각각을 제곱해 세 제곱값의 평균을 구하면 분산 (variance)은 0.01722이고 표준편차 (standard deviation)는 13.12%입니다.
Geometric mean ≈ arithmetic mean − variance / 2 = 8.33% − 0.86% = 7.47%
정확한 값 7.49%와 비교하면, 이 근삿값은 몇 초 안에 선택지를 점검하기에 충분히 가깝습니다. 변동성이 커지면 그 영향은 더 이상 미미하지 않습니다. 50% 상승한 뒤 50% 하락한 포트폴리오의 산술 평균은 정확히 영이지만, 100은 150이 되었다가 75가 됩니다. 기하평균은 (1.50 × 0.50)^(1/2) − 1 = −13.40%입니다. 같은 두 수치에서 평균 수익률은 영인데 자금의 사분의 일이 사라진 결과가 나옵니다.
빠른 정리
| 문제 표현 | 확인되는 내용 | 놓쳤을 때의 위험 |
|---|---|---|
| 해당 기간의 평균 연간 수익률 | 복리 성장이므로 기하평균입니다 | 수익률을 단순 평균해 성장을 과대평가합니다 |
| 다음 기간의 기대수익률 | 단일 기간이므로 산술 평균입니다 | 기하평균을 사용해 추정치를 과소평가합니다 |
| 기말 가치 또는 기말 부 | 성장계수를 곱하므로 기하평균만 사용합니다 | 대신 산술 평균을 복리로 적용합니다 |
| 모든 기간의 수익률이 동일함 | 두 평균이 일치합니다 | 존재하지 않는 차이를 찾습니다 |
한 가지 습관으로 대부분의 위험을 없앨 수 있습니다. 평균 수익률을 구했다면 제시된 기간에 걸쳐 복리로 적용한 뒤 문제의 기말 가치와 비교해 보세요. 수익률에 변동이 있었다면 산술 평균은 언제나 실제 값을 웃돌며, 선택지를 확정하기 전에 그 불일치를 확인할 수 있습니다.
같은 구분은 금액가중수익률과 시간 가중 수익률에서도 나타납니다. 하나의 수익률 집합에서 타당한 평균 두 개가 나오며, 문제는 이미 그중 어떤 것을 요구하는지 정해 놓았습니다.
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