Paridade put-call: por que descontar o strike
Uma questão sobre opções europeias (European option) com prazo de um ano fornece um preço da call de 8, um preço da ação de 102, um preço de exercício (strike price) de 100 e uma taxa livre de risco (risk-free rate) de 5%. Um candidato que trata o preço de exercício como caixa devido hoje calcula a put em 6.00, porque o pagamento futuro não foi descontado. O valor correto é 1.24. A diferença está no momento do fluxo, não na matemática das opções.
Um payoff, duas carteiras
Paridade put-call (put-call parity) compara duas carteiras que produzem o mesmo fluxo de caixa no vencimento (expiry). De um lado estão a ação e uma put europeia, a conhecida put protetora (protective put). Do outro estão uma call europeia e um título livre de risco cujo valor no vencimento é igual ao preço de exercício. As opções têm o mesmo preço de exercício e o mesmo vencimento, portanto nenhum lado obtém vantagem por diferenças nos termos contratuais.
S₀ + p₀ = c₀ + X ÷ (1 + r)^T
É mais fácil enxergar o resultado no vencimento do que decorá-lo hoje. Se a ação terminar acima do preço de exercício, a combinação de ação e put valerá o valor da ação, enquanto a combinação de call e título chegará ao mesmo valor com o exercício da call. Se a ação terminar abaixo do preço de exercício, a put protegerá a primeira carteira nesse preço, e o título fará o mesmo na segunda. Fluxos de caixa finais iguais exigem preços iguais hoje.
O preço de exercício pertence ao vencimento
O preço de exercício, X, é trocado quando as opções vencem. Portanto, o título correspondente precisa crescer até X nessa data; ele não precisa custar X na data da avaliação. Seu valor atual é X dividido pelo fator de crescimento livre de risco durante T, motivo pelo qual a fórmula contém X ÷ (1 + r)^T, e não o preço de exercício sem desconto.
Usar X diretamente financia em excesso o lado do título na comparação. Há também outro risco algébrico: depois de partir da relação de paridade, mover a ação, a call ou a put para o outro lado da igualdade muda seu sinal. Uma forma rearranjada memorizada pode ocultar essa mudança, enquanto a expressão original das duas carteiras mantém cada ativo no lado ao qual seu payoff pertence.
Resolvendo o caso de 8, 100 e 102
Aqui, a taxa livre de risco é 5% por um ano, portanto os 100 devidos no vencimento têm valor presente (present value) de 95.24. Com a call valendo 8 e a ação valendo 102, a put é o montante necessário para restabelecer a igualdade entre as carteiras.
p₀ = 8 + 100 ÷ 1.05 − 102 = 8 + 95.24 − 102 = 1.24
O distrator de 6.00 resulta de usar 100 no lugar de 95.24. Todos os demais dados são tratados corretamente, o que torna a alternativa errada convincente e explica por que essa é, acima de tudo, uma armadilha relacionada ao momento do fluxo.
Referência rápida
| Símbolo | Significado | Momento |
|---|---|---|
| S₀ | Preço da ação subjacente | Hoje |
| p₀ | Preço da put europeia | Hoje |
| c₀ | Preço da call europeia | Hoje |
| X | Preço de exercício comum (exercise price) | Pago no vencimento |
| r | Taxa livre de risco | Aplicável durante o prazo da opção |
| T | Tempo até o vencimento | Define o período de desconto |
A igualdade, da forma apresentada, tem um escopo mais restrito do que sua fórmula compacta sugere. Ela se aplica a opções europeias com o mesmo preço de exercício e vencimento sobre um ativo que não paga rendimentos durante o período, ou após o devido ajuste desses rendimentos. Um dividendo não ajustado altera os fluxos de caixa de manter a ação, enquanto uma opção americana introduz a possibilidade de exercício antecipado. O ajuste ausente pode estar escondido em uma frase curta sobre dividendos, e o estilo de exercício talvez apareça apenas na descrição do contrato. Uma questão pode testar qualquer uma dessas condições em texto, sem pedir cálculo algum.
O mesmo hábito evita erros com os sinais do custo de carregamento. Pergunte o que cada fluxo de caixa faz e quando ocorre; o sinal virá como consequência.
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