풋-콜 패리티: 행사가격을 할인하는 이유
일 년 만기 유럽형 옵션 (European option) 문제에서 콜 가격 8, 주가 102, 행사가격 (strike price) 100, 무위험이자율 (risk-free rate) 5%가 주어집니다. 행사가격을 오늘 지급할 현금으로 취급한 수험생은 미래 지급액을 할인하지 않아 풋 가격을 6.00으로 계산합니다. 올바른 값은 1.24입니다. 차이는 옵션 수학이 아니라 시점에서 생깁니다.
하나의 만기 지급액, 두 포트폴리오
풋-콜 패리티 (put-call parity)는 만기 (expiry)에 동일한 현금흐름을 만드는 두 포트폴리오를 비교합니다. 한쪽에는 주식과 유럽형 풋, 즉 익숙한 방어적 풋 (protective put)이 있습니다. 다른 쪽에는 유럽형 콜과 만기 가치가 행사가격과 같은 무위험 채권이 있습니다. 두 옵션의 행사가격과 만기가 같으므로 서로 다른 계약 조건에서 어느 쪽도 이점을 얻지 않습니다.
S₀ + p₀ = c₀ + X ÷ (1 + r)^T
이 결과는 오늘 외우는 것보다 만기 시점에서 살펴보면 이해하기 쉽습니다. 주가가 행사가격보다 높게 끝나면 주식과 풋의 조합은 주식 가치와 같고, 콜과 채권의 조합도 콜 행사로 같은 가치에 도달합니다. 주가가 행사가격보다 낮게 끝나면 풋은 첫 번째 포트폴리오를 행사가격에서 보호하고, 채권은 두 번째 포트폴리오에서 같은 역할을 합니다. 만기 현금흐름이 같다면 오늘의 가격도 같아야 합니다.
행사가격은 만기 시점의 금액이다
행사가격 X는 옵션 만기에 교환됩니다. 따라서 대응하는 채권은 그날까지 X로 불어나면 되며, 가치평가일에 X만큼의 비용이 들 필요는 없습니다. 현재 가치는 X를 T 기간의 무위험 성장계수로 나눈 값입니다. 그래서 공식에는 할인하지 않은 행사가격이 아니라 X ÷ (1 + r)^T가 들어갑니다.
X를 그대로 사용하면 비교에서 채권 쪽에 필요한 금액보다 더 많이 투자하게 됩니다. 별도의 대수적 위험도 있습니다. 패리티 관계에서 시작해 주식, 콜 또는 풋을 등호 반대편으로 옮기면 부호가 바뀝니다. 외운 변형식은 이 변화를 숨길 수 있지만, 원래의 두 포트폴리오 관계를 사용하면 각 자산이 자신의 지급액이 속한 쪽에 그대로 남습니다.
8, 100, 102 사례 계산
여기서 무위험이자율은 일 년간 5%이므로 만기에 지급할 100의 현재 가치 (present value)는 95.24입니다. 콜 가치가 8이고 주식 가치가 102일 때, 풋은 두 포트폴리오의 가치를 같게 만드는 데 필요한 금액입니다.
p₀ = 8 + 100 ÷ 1.05 − 102 = 8 + 95.24 − 102 = 1.24
6.00이라는 오답은 100을 95.24 자리에 대입하면 나옵니다. 다른 모든 입력값은 올바르게 처리했기 때문에 오답이 그럴듯해 보이며, 이 문제가 주로 시점 함정인 이유도 여기에 있습니다.
빠른 정리
| 기호 | 의미 | 시점 |
|---|---|---|
| S₀ | 기초자산 주식의 가격 | 오늘 |
| p₀ | 유럽형 풋 가격 | 오늘 |
| c₀ | 유럽형 콜 가격 | 오늘 |
| X | 공통 행사가격 (exercise price) | 만기에 지급 |
| r | 무위험이자율 | 옵션 기간 전체에 적용 |
| T | 만기까지의 기간 | 할인 기간을 결정 |
이 등식의 적용 범위는 간결한 공식이 암시하는 것보다 좁습니다. 같은 행사가격과 만기를 가지며 해당 기간 중 배당 등 수익을 지급하지 않는 자산을 기초로 한 유럽형 옵션에 적용됩니다. 소득이 있다면 이를 조정한 뒤 적용해야 합니다. 조정하지 않은 배당은 주식 보유로 생기는 현금흐름을 바꾸고, 미국형 옵션에는 조기 행사 가능성이 있습니다. 빠진 조정은 배당에 관한 짧은 문구에 숨어 있을 수 있고, 행사 방식은 계약 설명에만 나올 수도 있습니다. 문제는 계산을 전혀 요구하지 않고도 문장만으로 두 조건 중 하나를 평가할 수 있습니다.
보유비용의 부호도 같은 습관으로 해결할 수 있습니다. 각 현금흐름이 어떤 영향을 주며 언제 발생하는지 물으면 부호가 따라옵니다.
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