プット・コール・パリティ：行使価格を割り引く理由
期間一年のヨーロピアン・オプション (European option)の問題で、コール価格8、株価102、行使価格 (strike price)100、リスクフリー・レート (risk-free rate)5%が示されます。行使価格を今日支払う現金として扱う受験者は、将来の支払いを割り引かないため、プットを6.00と計算します。正しい値は1.24です。違いを生むのはオプションの数学ではなく、時点です。
一つのペイオフ、二つのポートフォリオ
プット・コール・パリティ (put-call parity)は、満期 (expiry)に同じキャッシュフローを生む二つのポートフォリオを比較します。一方は株式とヨーロピアン・プットを組み合わせた、よく知られるプロテクティブ・プット (protective put)です。もう一方は、ヨーロピアン・コールと、満期時の価値が行使価格に等しくなる無リスク債券の組合せです。両オプションは行使価格も満期も同じため、契約条件の違いによってどちらかが有利になることはありません。
S₀ + p₀ = c₀ + X ÷ (1 + r)^T
この結果は、今日暗記するより満期時点で考える方が理解しやすくなります。株価が行使価格を上回れば、株式とプットの組合せは株式価値に等しくなり、コールと債券の組合せもコールの行使により同じ価値になります。株価が行使価格を下回れば、プットが最初のポートフォリオを行使価格で保護し、債券がもう一方のポートフォリオで同じ役割を果たします。満期時のキャッシュフローが等しければ、今日の価格も等しくなければなりません。
行使価格は満期時点の金額
行使価格Xは、オプションの満期時に受け渡されます。したがって、対応する債券はその日までにXへ成長すればよく、評価日にXのコストがかかる必要はありません。その現在価値 (present value)はXをT期間の無リスク成長係数で割ったものです。このため、式には割引前の行使価格ではなく、X ÷ (1 + r)^Tが含まれます。
Xをそのまま使うと、比較する債券側に過剰な資金を配分します。代数上の別のリスクもあります。パリティの関係式から始めて、株式、コール、プットを等号の反対側へ移すと符号が変わります。暗記した変形式ではその変化を見落としやすい一方、元の二ポートフォリオの式なら、各資産をそのペイオフが属する側に保てます。
8、100、102の例を解く
ここではリスクフリー・レートが一年間5%なので、満期に支払う100の現在価値は95.24です。コールが8、株式が102なら、プットは両ポートフォリオの等価関係を回復するために必要な金額です。
p₀ = 8 + 100 ÷ 1.05 − 102 = 8 + 95.24 − 102 = 1.24
6.00という誤答は、100を代入し、95.24を使わないと生じます。それ以外の入力値はすべて正しく処理されているため、誤答でも信頼できそうに見えます。これが主に時点の罠である理由です。
クイックリファレンス
| 記号 | 意味 | 時点 |
|---|---|---|
| S₀ | 原資産である株式の価格 | 今日 |
| p₀ | ヨーロピアン・プットの価格 | 今日 |
| c₀ | ヨーロピアン・コールの価格 | 今日 |
| X | 共通の行使価格 (exercise price) | 満期時に支払う |
| r | リスクフリー・レート | オプション期間を通じて適用 |
| T | 満期までの期間 | 割引期間を決める |
この形で記された等式の適用範囲は、簡潔な式から受ける印象より狭いものです。期間中に収益を支払わない資産を原資産とし、行使価格と満期が同じヨーロピアン・オプションに適用されます。収益がある場合は、その調整後に適用します。未調整の配当があると株式保有によるキャッシュフローが変わり、アメリカン・オプションでは早期行使の可能性が生じます。必要な調整は配当に関する短い語句に隠され、行使方式は契約の説明にしか書かれていないこともあります。計算を一切求めず、文章だけでどちらかの条件を問う問題もあり得ます。
同じ習慣が、保有コストの符号でも役立ちます。各キャッシュフローが何をもたらし、いつ発生するかを考えれば、符号が決まります。
フルタイムで働きながら勉強していますか。 Charter5mなら、短い休憩時間を集中した演習に変えられます。CFA Level Iの短いレッスン、ひっかけに焦点を当てた問題、間隔反復型フラッシュカードを用意しています。次の5分間の学習で試してみてください。
英語が母語でない方は、すべての概念を英語で学びながら、ワンタップで母語の説明も確認できます。9つの学習言語に対応しているため、試験で使われる用語が障壁になりにくくなります。
Charter5mは独立した学習ツールであり、CFA Instituteとは提携していません。CFA Instituteは、本コンテンツの正確性または品質を承認、推奨、保証するものではありません。CFA®はCFA Instituteの登録商標です。